Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \alpha x+\phantom{2}y+\phantom{(3+\alpha)}3z = 4 \\ \phantom{\alpha}x+\phantom{2}y-\phantom{(3+\alpha)}2z = -2 \\ -x+2y+(3+\alpha)z = 4+\alpha\end{cases}

a) [1,25 puntos] Determina, si existen, los valores de

\alpha

para los que el sistema dado tiene solución única.

b) [1,25 puntos] Determina, si existen, los valores de

\alpha

para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = \alpha^{2}+6\alpha+8 = (\alpha+2)(\alpha+4)\;}

\boxed{\;\text{a) Solución única} \iff \alpha \neq -2 \ \text{ y } \ \alpha \neq -4\;}

\boxed{\;\alpha = -4: \ \operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \Rightarrow \text{Incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b) } \alpha = -2 \ (F_{3} = F_{1}+F_{2}): \quad (x,y,z) = \left(\tfrac{5t-6}{3},\, \tfrac t3,\, t\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión clásica en dos preguntas:

a) Solución única $\iff \det M \neq 0$ .
b) "Al menos dos soluciones" significa infinitas (un sistema lineal tiene $0$ , $1$ o infinitas): $\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} < 3$ .

El determinante se anula para dos valores de

\alpha

, y hay que analizarlos por separado: uno dará sistema incompatible y el otro indeterminado.

Desarrollo

El determinante.

\det M = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 3+\alpha\end{vmatrix}

= \alpha\bigl[(3+\alpha)+4\bigr]-1\bigl[(3+\alpha)-2\bigr]+3\bigl[2+1\bigr]

= \alpha\,(\alpha+7)-(\alpha+1)+9 = \alpha^{2}+7\alpha-\alpha-1+9 = \alpha^{2}+6\alpha+8

\det M = (\alpha+2)(\alpha+4) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = -2 \quad \text{o} \quad \alpha = -4

a) Solución única.

\alpha \neq -2 \quad \text{y} \quad \alpha \neq -4

Caso $\alpha = -4$ .

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -4 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & -1 & 0\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

(menor

\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -5\neq0

). Orlando con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -4 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 0\end{vmatrix} = -4(0+4)-1(0-2)+4(2+1) = -16+2+12 = -2 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $\alpha = -2$ .

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right)

Aquí

F_{3} = F_{1}+F_{2}

(y también en el término independiente:

4+(-2) = 2

\checkmark

). Por tanto

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Al menos dos soluciones: $\alpha = -2$ . Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y tomamos

z = t

\begin{cases} -2x+y+3z = 4 \\ \phantom{-2}x+y-2z = -2\end{cases}

Restando la segunda de la primera:

\;-3x+5z = 6 \Rightarrow x = \dfrac{5z-6}{3}

. Y de la segunda:

y = -2-x+2z = -2-\frac{5t-6}{3}+2t = \frac{-6-5t+6+6t}{3} = \frac{t}{3}

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{5t-6}{3},\; \frac{t}{3},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación en la tercera ecuación (

-x+2y+z = 2

-\frac{5t-6}{3}+\frac{2t}{3}+t = \frac{-5t+6+2t+3t}{3} = \frac{6}{3} = 2 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Al menos dos soluciones" $=$ infinitas soluciones. Un sistema lineal nunca tiene exactamente dos; identificar eso es lo primero que hay que decir en b).

Los dos valores que anulan el determinante no se comportan igual: $\alpha=-4$ da incompatible y $\alpha=-2$ indeterminado. Analízalos por separado; suponer que ambos son del mismo tipo es un error frecuente.

Detectar la relación $F_{3} = F_{1}+F_{2}$ incluyendo la columna de términos independientes resuelve el caso $\alpha=-2$ de un vistazo, sin orlar menores. Y prueba siempre la solución en la ecuación que has descartado.