Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de

A

y la de

B

.

b) [1,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial

\;AX+B = A+I

, donde

I

denota la matriz identidad de orden

3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1 \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\det B = 0 \ (F_{2} = 2F_{1}): \ \textbf{B no tiene inversa}\;}

\boxed{\;AX = A+I-B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = A^{-1}\bigl(A+I-B\bigr) = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 6 \\ -3 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & -1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El "si existen" del enunciado es la pista: una de las dos no tiene inversa. Mirando

B

se ve enseguida que su segunda fila es el doble de la primera, luego

\det B = 0

.

En b) solo se necesita

A^{-1}

AX = A+I-B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(A+I-B\bigr)

Desarrollo

a) La inversa de $A$ .

\det A = 1\,(2-1)-1\,(1-1)+2\,(1-2) = 1-0-2 = -1 \neq 0

Los cofactores:

\begin{array}{lll} A_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 & A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0 & A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -1 \\[3mm] A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 & A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -1 & A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0 \\[3mm] A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -3 & A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 & A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 1\end{array}

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}

La inversa de $B$ : no existe. Su segunda fila es el doble de la primera:

(2,\,0,\,4) = 2\,(1,\,0,\,2) \;\Longrightarrow\; \det B = 0

\textbf{B no es invertible}

b) La ecuación matricial.

AX = A+I-B

A+I = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A+I-B = \begin{pmatrix} 2-1 & 1-0 & 2-2 \\ 1-2 & 3-0 & 1-4 \\ 1+1 & 1-1 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}

Despejando (

A

está a la izquierda, así que

A^{-1}

entra por la izquierda):

X = A^{-1}\bigl(A+I-B\bigr) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}

Fila 1:

\;(-1+1+6,\; -1-3+0,\; 0+3+3) = (6,\; -4,\; 6)

Fila 2:

\;(0-1-2,\; 0+3+0,\; 0-3-1) = (-3,\; 3,\; -4)

Fila 3:

\;(1+0-2,\; 1+0+0,\; 0+0-1) = (-1,\; 1,\; -1)

X = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 6 \\ -3 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & -1\end{pmatrix}

Comprobación.

AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & -4 & 6 \\ -3 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} = A+I-B \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El "si existen" del enunciado avisa de que alguna inversa falla. Mira primero si hay filas proporcionales: en $B$ , $F_{2} = 2F_{1}$ , y eso anula el determinante sin calcularlo.

En b) no hace falta $B^{-1}$ : $B$ solo aparece sumando, no multiplicando. Que no sea invertible no impide resolver la ecuación.

$A$ multiplica por la izquierda, así que $X = A^{-1}M$ , no $MA^{-1}$ . Es la regla que más se falla en las ecuaciones matriciales.