Determinantes

a) Descomposición por filas. Con la notación anterior, el determinante pedido es$$D = \bigl|\,F_{1}-F_{3},\ F_{3},\ F_{2}+F_{3}\,\bigr|$$Linealidad en la primera fila:$$D = \bigl|F_{1},\ F_{3},\ F_{2}+F_{3}\bigr| \;-\; \underbrace{\bigl|F_{3},\ F_{3},\ F_{2}+F_{3}\bigr|}_{\text{filas 1 y 2 iguales}\;=\;0}$$Linealidad en la tercera fila:$$D = \bigl|F_{1},\ F_{3},\ F_{2}\bigr| \;+\; \underbrace{\bigl|F_{1},\ F_{3},\ F_{3}\bigr|}_{\text{filas 2 y 3 iguales}\;=\;0} = \bigl|F_{1},\ F_{3},\ F_{2}\bigr|$$Intercambio de filas: $\bigl|F_{1}, F_{3}, F_{2}\bigr|$ se obtiene de $\bigl|F_{1},F_{2},F_{3}\bigr| = |A|$ permutando las filas segunda y tercera, lo que cambia el signo:$$D = -|A| = -5$$Propiedades utilizadas: (1) el determinante es lineal respecto de cada fila; (2) un determinante con dos filas iguales vale $0$; (3) intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.

b) La ecuación $B\cdot A = C$. Multiplicando la fila $B = (1,\,y,\,z)$ por las columnas de $A$:$$B\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & y & z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 3y + z & \ \ y + z \ \ & 2y + 2z \end{pmatrix}$$(Primera componente: $1\cdot x + y\cdot 3 + z\cdot 1$. Segunda: $1\cdot y + y\cdot 0 + z\cdot 1$. Tercera: $1\cdot z + y\cdot 2 + z\cdot 1$.)

Igualando a $C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\end{pmatrix}$:$$\begin{cases} x + 3y + z = 3 \\ y + z = 0 \\ 2y + 2z = 0 \end{cases}$$La tercera ecuación es el doble de la segunda, así que solo hay dos ecuaciones independientes para tres incógnitas: el sistema es compatible indeterminado. De la segunda, $z = -y$, y llevándolo a la primera:$$x + 3y - y = 3 \;\Longrightarrow\; x = 3 - 2y$$Tomando $y = t$ como parámetro:$$(x,\ y,\ z) = \bigl(3 - 2t,\ t,\ -t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}$$Comprobación (por ejemplo con $t=1$, es decir $(1,1,-1)$):$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3-1 & 1+0-1 & -1+2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\end{pmatrix}$$Nota: el dato "$|A| = 5$" es una hipótesis del apartado a) y no se arrastra al b). De hecho, en todas las ternas anteriores resulta $|A| = -2x - y + 3z = -6$, así que las dos condiciones no son simultáneas: cada apartado es independiente.