Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2023 · Junio

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

a) [0,5 puntos] Determina para qué valores de

m

existe la inversa de la matriz

A

.

b) [2 puntos] Para todo

m \neq -1

, resuelve, si es posible, la ecuación

AX + X = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = m^{3}, \quad \text{existe } A^{-1} \Longleftrightarrow m \neq 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = (A+I)^{-1}B = \frac{1}{1 + m^{3}}\begin{pmatrix} 1 & -m & m^{2} \\ -m & m^{2} & 1 \\ m^{2} & 1 & -m \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es un determinante de una sola línea. Lo importante es no perderlo de vista después: en b) no se despeja con $A^{-1}$ , sino sacando

X

factor común por la derecha.

AX + X = B \;\Longrightarrow\; (A + I)X = B \;\Longrightarrow\; X = (A + I)^{-1}B

Y ahí está la clave de por qué el enunciado excluye

m = -1

: lo que tiene que ser invertible es

A + I

, no

A

. De hecho, para

m = 0

la matriz

A

no tiene inversa y sin embargo la ecuación sí se puede resolver.

Desarrollo

a) Desarrollando por la primera fila:

|A| = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{array}\right| = m\cdot\left|\begin{array}{cc} m & 0 \\ 0 & m \end{array}\right| = m \cdot m^{2} = m^{3}

Existe

A^{-1}

si y solo si

|A| \neq 0

, es decir,

m^{3} \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; \boxed{m \neq 0}

b) Factor común. Como

X = IX

AX + X = B \;\Longrightarrow\; AX + IX = B \;\Longrightarrow\; (A + I)\,X = B

A + I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}

¿Cuándo se puede despejar? Desarrollando por la primera fila:

|A + I| = 1\cdot(1 - 0) - 0 + m\cdot\left(m^{2} - 0\right) = 1 + m^{3}

|A + I| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m^{3} = -1 \;\Longleftrightarrow\; m = -1

Es exactamente la condición que impone el enunciado: para

m \neq -1

la matriz

A + I

es invertible y

X = (A + I)^{-1}\,B

Cálculo de $(A+I)^{-1}$ . La traspuesta de la matriz de adjuntos de

A+I

\operatorname{adj}(A+I)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & m^{2} & -m \\ -m & 1 & m^{2} \\ m^{2} & -m & 1 \end{pmatrix}

de modo que

(A + I)^{-1} = \frac{1}{1 + m^{3}}\begin{pmatrix} 1 & m^{2} & -m \\ -m & 1 & m^{2} \\ m^{2} & -m & 1 \end{pmatrix}

Producto por $B$ . La matriz

B

es la identidad con las columnas segunda y tercera intercambiadas, así que multiplicar por ella a la derecha se limita a intercambiar esas dos columnas:

X = \frac{1}{1 + m^{3}}\begin{pmatrix} 1 & -m & m^{2} \\ -m & m^{2} & 1 \\ m^{2} & 1 & -m \end{pmatrix}

Comprobación para $m = 2$ . Entonces

1 + m^{3} = 9

X = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}

Multiplicando,

AX + X = (A+I)X = B

, como debía ser.

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Consejo

El fallo típico es empezar b) multiplicando por $A^{-1}$ : $X + A^{-1}X = A^{-1}B$ , que no simplifica nada y además obliga a suponer $m \neq 0$ sin necesidad. Saca factor común: $AX + X = (A+I)X$ . Recuerda que para sacar $X$ por la derecha hay que escribir el sumando suelto como $IX$ .

Fíjate en que el apartado a) y el b) piden condiciones distintas: $A$ es invertible si $m \neq 0$ , pero lo que hace falta para resolver la ecuación es que lo sea $A + I$ , es decir $m \neq -1$ . Con $m = 0$ la ecuación se resuelve perfectamente ( $X = B$ ) aunque $A$ no tenga inversa.