Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3.

a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro

m

para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

\left.\begin{array}{rcl} 2x+y+z & = & m x \\ x+2y+z & = & m y \\ x+2y+4z & = & m z\end{array}\right\}

b) [1,5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso

m = 0

y para el caso

m = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Homogéneo}: \ (2-m)x+y+z = 0, \ x+(2-m)y+z = 0, \ x+2y+(4-m)z = 0\;}

\boxed{\;\det M = -(m-1)\bigl(m^{2}-7m+9\bigr) = 0 \iff m = 1 \ \text{o} \ m = \tfrac{7\pm\sqrt{13}}{2}\;}

\boxed{\;m = 0: \ \det M = 9 \neq 0 \Rightarrow \text{solo la trivial } (0,0,0)\;}

\boxed{\;m = 1: \ (x,y,z) = (t,\; -2t,\; t) \ \text{(recta por el origen)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es pasar todo a un lado: el sistema es homogéneo.

\begin{cases} (2-m)x+y+z = 0 \\ x+(2-m)y+z = 0 \\ x+2y+(4-m)z = 0\end{cases}

Un homogéneo siempre tiene la solución trivial

(0,0,0)

. Tiene más de una exactamente cuando es indeterminado, es decir, cuando

\det M = 0

Desarrollo

El sistema homogéneo.

M = \begin{pmatrix} 2-m & 1 & 1 \\ 1 & 2-m & 1 \\ 1 & 2 & 4-m\end{pmatrix}

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = (2-m)\bigl[(2-m)(4-m)-2\bigr]-1\,\bigl[(4-m)-1\bigr]+1\,\bigl[2-(2-m)\bigr]

= (2-m)\bigl(m^{2}-6m+6\bigr)-(3-m)+m = \bigl(-m^{3}+8m^{2}-18m+12\bigr)+2m-3

\det M = -m^{3}+8m^{2}-16m+9

Factorizamos.

m = 1

es raíz (

-1+8-16+9 = 0

); dividiendo por Ruffini:

\det M = -\,(m-1)\bigl(m^{2}-7m+9\bigr)

Los ceros.

m = 1 \qquad \text{o} \qquad m^{2}-7m+9 = 0 \;\Longrightarrow\; m = \frac{7\pm\sqrt{49-36}}{2} = \frac{7\pm\sqrt{13}}{2}

\textbf{Más de una solución si } m = 1 \ \text{ o } \ m = \frac{7\pm\sqrt{13}}{2}

(Numéricamente, $\frac{7-\sqrt{13}}{2}\approx1{,}70$ y $\frac{7+\sqrt{13}}{2}\approx5{,}30$ .)

b) Resolución en los dos casos pedidos.

Caso $m = 0$ :

M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4\end{pmatrix} \qquad \det M = 9 \neq 0

\textbf{Solución única: la trivial } (x,y,z) = (0,\,0,\,0)

Caso $m = 1$ :

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix} \qquad \det M = 0

Las dos primeras filas coinciden, y el menor

\;\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = 1 \neq 0\;

(filas 1 y 3, columnas 2 y 3) da

\operatorname{rg}M = 2

.

Resolviendo con las ecuaciones

\;x+y+z = 0\;

\;x+2y+3z = 0

:

Restando:

\;y+2z = 0 \Longrightarrow y = -2z

.

De la primera:

\;x = -y-z = 2z-z = z

.

Con

z = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; -2t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

(Es una recta que pasa por el origen, con dirección $(1,-2,1)$ .)

Comprobación con

t=1

(1,-2,1)

;

\;1-2+1 = 0

\checkmark

;

\;1-4+3 = 0

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un sistema homogéneo nunca es incompatible: la pregunta "¿más de una solución?" equivale a "¿es indeterminado?", es decir, a $\det M = 0$ . No hace falta mirar la ampliada.

Antes de discutir, pasa todos los términos a un lado: $mx$ , $my$ y $mz$ están en el segundo miembro y hay que restarlos de la diagonal.

Que las raíces salgan irracionales ( $\frac{7\pm\sqrt{13}}{2}$ ) no es un error: el enunciado solo pide resolver en $m=0$ y $m=1$ , que son los casos limpios.