Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2023 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}

calcula, si es posible, la matriz

X

que verifica la ecuación

3X - B^{t} = AX

, siendo

B^{t}

la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl(3I - A\bigr)X = B^{t}, \qquad |3I - A| = 1 \neq 0\;}

\boxed{\;X = \bigl(3I - A\bigr)^{-1}B^{t} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -11 & -5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La incógnita aparece a los dos lados de la ecuación, así que lo primero es agruparla. El paso decisivo es escribir

3X = 3IX

para poder sacar factor común por la derecha:

3X - AX = B^{t} \;\Longrightarrow\; \bigl(3I - A\bigr)X = B^{t} \;\Longrightarrow\; X = \bigl(3I - A\bigr)^{-1}B^{t}

Hay que tener cuidado con las dimensiones:

B

2\times 3

, luego

B^{t}

3\times 2

y la matriz

X

que buscamos es

3\times 2

, no cuadrada. Que

X

no sea cuadrada no impide nada: lo único que necesita inversa es

3I - A

Desarrollo

Agrupación de la incógnita.

3X - B^{t} = AX \;\Longrightarrow\; 3X - AX = B^{t} \;\Longrightarrow\; 3IX - AX = B^{t} \;\Longrightarrow\; \bigl(3I - A\bigr)X = B^{t}

La matriz $3I - A$ .

3I - A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}

¿Es invertible? Desarrollando por la primera fila:

|3I - A| = 1\,(0\cdot 0 - (-1)(-1)) - 1\,(2\cdot 0 - (-1)(-6)) + 2\,(2\cdot(-1) - 0\cdot(-6))

= 1\,(-1) - 1\,(-6) + 2\,(-2) = -1 + 6 - 4 = 1 \neq 0

Sí es invertible, así que la solución existe y es única.

Inversa. Con determinante

1

, la inversa es directamente la adjunta traspuesta:

\bigl(3I - A\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 12 & 5 \\ -2 & -5 & -2 \end{pmatrix}

Traspuesta de $B$ .

B^{t} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}

Producto final.

X = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 6 & 12 & 5 \\ -2 & -5 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -11 & -5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}

Por ejemplo, la primera entrada:

(-1)(-1) + (-2)(0) + (-1)(-1) = 1 + 0 + 1 = 2

.

Comprobación.

AX = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -11 & -5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ -33 & -14 \\ 13 & -2 \end{pmatrix}

3X - B^{t} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ -33 & -15 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ -33 & -14 \\ 13 & -2 \end{pmatrix} \quad \checkmark

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Consejo

Para sacar factor común de $3X - AX$ hay que convertir el $3$ en $3I$ . Escribir $(3 - A)X$ es un error de bulto: no se puede restar un número de una matriz. Aunque luego calcules bien porque en tu cabeza ese $3$ era $3I$ (restar $3$ solo en la diagonal), la notación mal escrita se penaliza en un ejercicio donde el despeje es la mitad de la nota.

Y no te bloquees porque $X$ salga $3\times 2$ . La ecuación $(3I-A)X = B^{t}$ es perfectamente coherente: $3\times 3$ por $3\times 2$ da $3\times 2$ . Comprueba siempre las dimensiones antes de multiplicar; es la forma más rápida de detectar que has despejado por el lado equivocado.