Opción B · Ejercicio 3. a) [1,5 puntos] Justifica que es posible hacer un pago de 34{,}50 euros cumpliendo las siguientes restricciones: - utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros; - se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas; - tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas. ¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago? b) [1 punto] Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3.

a) [1,5 puntos] Justifica que es posible hacer un pago de

34{,}50

euros cumpliendo las siguientes restricciones:

utilizando únicamente monedas de $50$ céntimos de euro, de $1$ euro y de $2$ euros;
se tienen que utilizar exactamente un total de $30$ monedas;
tiene que haber igual número de monedas de $1$ euro como de $50$ céntimos y $2$ euros juntas.

¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?

b) [1 punto] Si se redondea la cantidad a pagar a

35

euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

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Resultado

\boxed{\;\begin{cases} 0{,}5x + y + 2z = 34{,}5 \\ x + y + z = 30 \\ x - y + z = 0\end{cases}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad y = 15,\; x + z = 15,\; x + 4z = 39 \;\Longrightarrow\; x = 7,\; y = 15,\; z = 8 \quad (\text{una sola manera})\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Con } 35: \; 3z = 25 \Rightarrow z = \tfrac{25}{3}\notin\mathbb{N} \;\Longrightarrow\; \text{no es posible}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de planteamiento con una vuelta de tuerca: además de resolver el sistema, hay que comprobar que la solución tiene sentido físico, es decir, que el número de monedas de cada tipo es un entero no negativo.

Ese detalle es la clave del apartado b): el sistema seguirá teniendo solución única como sistema de ecuaciones, pero con valores fraccionarios, y no se pueden partir monedas.

Hay un atajo muy útil: la tercera condición (

y = x + z

) combinada con el total de monedas (

x+y+z=30

) determina

y

de inmediato.

Desarrollo

Incógnitas.

x = \text{monedas de } 0{,}50; \qquad y = \text{monedas de } 1; \qquad z = \text{monedas de } 2

(en euros, y todas ellas cantidades enteras no negativas).

a) Traducción del enunciado.

\begin{cases} 0{,}5\,x + y + 2z = 34{,}5 & \text{(el importe)} \\ x + y + z = 30 & \text{(total de monedas)} \\ y = x + z & \text{(la tercera condición)}\end{cases}

El atajo. Sustituyendo

x + z = y

en la segunda ecuación:

\underbrace{(x+z)}_{=\,y} + y = 30 \;\Longrightarrow\; 2y = 30 \;\Longrightarrow\; y = 15

y por tanto

x + z = 15

.

Con eso, la primera ecuación.

0{,}5\,x + 15 + 2z = 34{,}5 \;\Longrightarrow\; 0{,}5\,x + 2z = 19{,}5

Multiplicando por

2

x + 4z = 39

Y sustituyendo

x = 15 - z

15 - z + 4z = 39 \;\Longrightarrow\; 3z = 24 \;\Longrightarrow\; z = 8

x = 15 - 8 = 7

x = 7, \qquad y = 15, \qquad z = 8

Los tres valores son enteros no negativos, así que el pago es posible, y el sistema es compatible determinado: hay una única manera.

Comprobación.

7\cdot 0{,}5 + 15\cdot 1 + 8\cdot 2 = 3{,}5 + 15 + 16 = 34{,}5 \ \text{euros} \quad \checkmark

7 + 15 + 8 = 30 \ \text{monedas} \quad \checkmark \qquad 15 = 7 + 8 \quad \checkmark

b) Con $35$ euros. Las dos últimas condiciones no cambian, así que sigue siendo

y = 15

x + z = 15

. La del importe pasa a ser

0{,}5\,x + 15 + 2z = 35 \;\Longrightarrow\; 0{,}5\,x + 2z = 20 \;\Longrightarrow\; x + 4z = 40

Con

x = 15 - z

15 + 3z = 40 \;\Longrightarrow\; 3z = 25 \;\Longrightarrow\; z = \frac{25}{3} \approx 8{,}33

El sistema sí tiene solución matemática (

z = \tfrac{25}{3}

x = \tfrac{20}{3}

y = 15

), pero no es entera:

\textbf{No es posible hacer el pago}, \text{ porque el número de monedas debe ser un número natural.}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La condición "igual número de monedas de 1 euro que de $0{,}50$ y $2$ euros juntas" significa $y = x + z$ , no $y = x = z$ ni $y = x$ y $y = z$ . Leerla mal cambia el sistema entero.

Combínala con el total: $y = x+z$ y $x+y+z = 30$ dan $2y = 30$ de un plumazo. Con $y=15$ conocido, el resto es un sistema $2\times 2$ trivial. Montar Gauss con la matriz $3\times 3$ también funciona, pero es mucho más lento.

Y no olvides el contexto: en b) el sistema es perfectamente compatible determinado, pero la solución no vale porque no se pueden usar $\tfrac{25}{3}$ monedas. La respuesta correcta no es "el sistema es incompatible", sino "la solución no es entera".