Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera el sistema de ecuaciones lineales:

\begin{pmatrix} \alpha & \phantom{-}1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & \phantom{-}0 & \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Discute el sistema según los valores de

\alpha

.

b) [1,25 puntos] Para

\alpha = 1

resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;|A| = -2\alpha\,(\alpha - 1)\;}

\boxed{\;\alpha \neq 0, 1: \text{ S.C.D. (solo la solución trivial)}; \qquad \alpha = 0 \text{ o } \alpha = 1: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = t\,(1, 0, -1); \quad \text{solución no trivial: } (1, 0, -1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero que hay que notar es que el sistema es homogéneo: el término independiente es la matriz nula. Eso simplifica mucho la discusión, porque un sistema homogéneo nunca es incompatible: la solución trivial

(0,0,0)

siempre existe, y por tanto

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*})

siempre.

La única pregunta es, entonces, si esa solución trivial es la única o si hay infinitas:

Si $|A| \neq 0$ : compatible determinado, solo la solución trivial.
Si $|A| = 0$ : compatible indeterminado, hay infinitas soluciones además de la trivial.

Y eso es exactamente lo que pide el apartado b): una solución distinta de la trivial, que solo existe en el caso singular.

Desarrollo

a) Determinante.

|A| = \left|\begin{array}{ccc} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{array}\right|

Sacando

\alpha

factor común de la primera columna:

|A| = \alpha\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \end{array}\right|

Restando la primera fila a la segunda (

F_{2} \to F_{2} - F_{1}

= \alpha\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & \alpha \end{array}\right| = \alpha\cdot(-2)\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & \alpha \end{array}\right| = -2\alpha\,(\alpha - 1)

(El signo: desarrollando por la segunda fila, el único término no nulo es $-2$ con su adjunto, que es el menor de las filas $1,3$ y columnas $1,3$ , con signo positivo.)

|A| = -2\alpha\,(\alpha - 1)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = 0 \quad \text{o} \quad \alpha = 1

Discusión.

Si $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq 1$ : $\operatorname{rg}(A) = 3 =$ número de incógnitas. Sistema compatible determinado, con la única solución $x = y = z = 0$ .
Si $\alpha = 0$ o $\alpha = 1$ : $\operatorname{rg}(A) = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminado con un parámetro: hay infinitas soluciones (una recta que pasa por el origen).

(En ambos casos singulares el rango es exactamente $2$ : para $\alpha=1$ el menor $\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right| = 2 \neq 0$ , y para $\alpha=0$ el menor $\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right| = 2 \neq 0$ formado por las columnas segunda y tercera.)

b) Caso $\alpha = 1$ . El sistema queda

\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z = 0 \\ x \phantom{{}+{}y} + z = 0 \end{cases}

Restando las dos primeras ecuaciones:

2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0

Y entonces la primera se reduce a

x + z = 0

, es decir

z = -x

(que es también la tercera ecuación: no aporta nada nuevo, coherente con

\operatorname{rg}(A) = 2

).

Solución general.

x = t, \qquad y = 0, \qquad z = -t, \qquad t \in \mathbb{R}

Es decir, todos los múltiplos de

(1, 0, -1)

: una recta que pasa por el origen.

Una solución no trivial. Tomando

t = 1

(x, y, z) = (1,\, 0,\, -1)

Comprobación:

\;1 + 0 - 1 = 0\;\checkmark

\;1 - 0 - 1 = 0\;\checkmark

\;1 - 1 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un sistema homogéneo no hay que comparar rangos con la ampliada: la columna de ceros no aporta rango nunca, así que jamás es incompatible. La discusión se reduce a mirar si $|A|$ se anula o no.

Fíjate en cómo está redactado el apartado b): "da una solución diferente de la trivial, si es posible". Ese "si es posible" es una pista de que existe (estamos en el caso singular), y la respuesta debe incluir tanto la solución general en forma paramétrica como un ejemplo concreto.