Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1+m & 1 \\ 1 & 1-m\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] ¿Para qué valores de

m

se verifica que

A^{2} = 2A+I

? (

I

denota la matriz identidad).

b) [1,75 puntos] Para

m = 1

, calcula

A^{-1}

y la matriz

X

que satisface

A\,X-B = A\,B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2} = \begin{pmatrix} (1+m)^{2}+1 & 2 \\ 2 & 1+(1-m)^{2}\end{pmatrix}, \qquad 2A+I = \begin{pmatrix} 3+2m & 2 \\ 2 & 3-2m\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{a) } m^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; m = \pm 1\;}

\boxed{\;\text{b) } m=1: \ A = \begin{pmatrix} 2&1\\1&0\end{pmatrix}, \ \det A = -1, \ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0&1\\1&-2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = A^{-1}B+B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se calcula $A^{2}$ y se iguala entrada a entrada con $2A+I$ . Salen cuatro ecuaciones que, al simplificarse, se reducen a una sola.
b) Ecuación matricial lineal: se despeja

A\,X = B+A\,B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(B+A\,B\bigr) = A^{-1}B+B

Esa última forma (usando

A^{-1}AB = B

) ahorra un producto de matrices.

Desarrollo

a) El cuadrado de $A$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 1+m & 1 \\ 1 & 1-m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+m & 1 \\ 1 & 1-m\end{pmatrix}

a_{11} = (1+m)^{2}+1 \qquad a_{12} = (1+m)+(1-m) = 2

a_{21} = (1+m)+(1-m) = 2 \qquad a_{22} = 1+(1-m)^{2}

A^{2} = \begin{pmatrix} (1+m)^{2}+1 & 2 \\ 2 & 1+(1-m)^{2}\end{pmatrix}

La matriz $2A+I$ .

2A+I = \begin{pmatrix} 2+2m+1 & 2 \\ 2 & 2-2m+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+2m & 2 \\ 2 & 3-2m\end{pmatrix}

Igualando. Las entradas

(1,2)

(2,1)

ya coinciden. Queda:

(1+m)^{2}+1 = 3+2m \;\Longrightarrow\; 1+2m+m^{2}+1 = 3+2m \;\Longrightarrow\; m^{2} = 1

1+(1-m)^{2} = 3-2m \;\Longrightarrow\; 1+1-2m+m^{2} = 3-2m \;\Longrightarrow\; m^{2} = 1

Las dos dan lo mismo:

m = 1 \quad \text{o} \quad m = -1

b) El caso $m = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad \det A = 0-1 = -1 \neq 0

A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 0+1 & 2-2 \\ 0+0 & 1+0\end{pmatrix} = I$ $\checkmark$ )

Despejando $X$ .

A\,X-B = A\,B \;\Longrightarrow\; A\,X = B+A\,B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}B+A^{-1}A\,B = A^{-1}B+B

El producto $A^{-1}B$ .

A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1\end{pmatrix}

La matriz $X$ .

X = A^{-1}B+B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

Comprobación.

A\,X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1\end{pmatrix}

A\,B+B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1\end{pmatrix} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) hay que igualar las cuatro entradas, aunque dos de ellas se cumplan automáticamente. Decirlo explícitamente demuestra que has hecho la comprobación completa.

El atajo de b) es $A^{-1}(B+AB) = A^{-1}B+B$ , porque $A^{-1}A = I$ . Te ahorras multiplicar $A\,B$ y luego $A^{-1}$ por ese producto.

Como $A$ multiplica por la izquierda, su inversa entra por la izquierda. Y comprueba $A\,A^{-1} = I$ antes de seguir: en una matriz $2\times2$ cuesta cinco segundos.