Sistemas de ecuaciones

a) Determinante.$$|A| = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & m \\ 1 & m & -1 \\ 3 & 1 & -3 \end{array}\right|$$Desarrollando por la primera fila:$$= 2\bigl(-3m + 1\bigr) - 3\bigl(-3 + 3\bigr) + m\bigl(1 - 3m\bigr)$$$$= -6m + 2 - 0 + m - 3m^{2} = -3m^{2} - 5m + 2$$Factorizando (raíces $m = \frac{1}{3}$ y $m = -2$):$$|A| = -\bigl(3m - 1\bigr)\bigl(m + 2\bigr)$$$$|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = \frac{1}{3} \quad \text{o} \quad m = -2$$Caso 1: $m \neq \frac{1}{3}$ y $m \neq -2$. $|A| \neq 0$, luego el sistema es compatible determinado.

Caso 2: $m = \frac{1}{3}$. El sistema queda$$\begin{cases} 2x + 3y + \frac{1}{3}z = \phantom{-}3 \\ \phantom{2}x + \frac{1}{3}y - \phantom{\frac13}z = -1 \\ 3x + \phantom{3}y - 3z = -\frac{1}{3} \end{cases}$$Observa que la tercera fila de $A$ es el triple de la segunda: $3\cdot(1, \frac{1}{3}, -1) = (3, 1, -3)$. Pero los términos independientes no guardan esa proporción: $3\cdot(-1) = -3 \neq -\frac{1}{3}$.

Es decir: multiplicando la segunda ecuación por $3$ se obtiene $3x + y - 3z = -3$, mientras que la tercera exige $3x + y - 3z = -\frac{1}{3}$. Las dos no pueden cumplirse a la vez.

Formalmente, el menor $\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & \frac{1}{3}\end{array}\right| = \frac{2}{3} - 3 = -\frac{7}{3} \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$, y al orlarlo con la columna de términos independientes$$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 3 \\ 1 & \frac{1}{3} & -1 \\ 3 & 1 & -\frac{1}{3} \end{array}\right| = -\frac{56}{9} \neq 0$$así que:$$\operatorname{rg}(A) = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}$$Caso 3: $m = -2$. El sistema queda$$\begin{cases} 2x + 3y - 2z = \phantom{-}3 \\ \phantom{2}x - 2y - \phantom{2}z = -1 \\ 3x + \phantom{3}y - 3z = \phantom{-}2 \end{cases}$$Ahora la tercera ecuación es la suma de las dos primeras: $(2+1, 3-2, -2-1 \mid 3-1) = (3, 1, -3 \mid 2)$, que coincide exactamente con la tercera. Luego la tercera no aporta información, y las dos primeras no son proporcionales (el menor $\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right| = -7 \neq 0$):$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ (un parámetro)}$$b) Caso $m = -2$. Tomamos $x = \lambda$ como parámetro y usamos las dos primeras ecuaciones:$$\begin{cases} 3y - 2z = 3 - 2\lambda \\ -2y - \phantom{2}z = -1 - \lambda \end{cases}$$De la segunda, $z = \lambda + 1 - 2y$. Sustituyendo en la primera:$$3y - 2\bigl(\lambda + 1 - 2y\bigr) = 3 - 2\lambda \;\Longrightarrow\; 3y - 2\lambda - 2 + 4y = 3 - 2\lambda$$$$7y = 5 \;\Longrightarrow\; y = \frac{5}{7}$$La $y$ es constante, independiente de $\lambda$: por eso el enunciado la llama $y_{0}$.

Comprobación de la $z$.$$z = \lambda + 1 - 2\cdot\frac{5}{7} = \lambda + 1 - \frac{10}{7} = \lambda - \frac{3}{7}$$que coincide exactamente con la forma dada en el enunciado. Por tanto$$y_{0} = \frac{5}{7}$$