Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula, si existe,

A^{-1}

.

b) [1,5 puntos] Resuelve el sistema

\;AX = 3X\;

e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 27 \neq 0; \qquad A^{2} = 9I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{A}{9}\;}

\boxed{\;AX = 3X \iff (A-3I)X = 0, \quad A-3I = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -5\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\det(A-3I) = 0, \ \operatorname{rg} = 2 \;\Longrightarrow\; \text{infinitas soluciones (1 parámetro)}\;}

\boxed{\;(x,y,z) = t\,(1,-2,1): \ \textbf{recta por el origen}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $\det A \neq 0$ , así que la inversa existe. Y sale una sorpresa muy útil: $\;A^{2} = 9I$ , luego $A^{-1} = \dfrac{A}{9}$ .
b) Se pasa todo a un lado:

AX = 3X \;\Longrightarrow\; AX-3X = 0 \;\Longrightarrow\; (A-3I)\,X = 0

Es un sistema homogéneo. Si

\det(A-3I) = 0

, hay infinitas soluciones, y el conjunto solución es un subespacio: según su dimensión, una recta o un plano por el origen.

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det A = -2\bigl[(1)(-2)-(-2)(-2)\bigr]+2\bigl[(-2)(-2)-(-2)(1)\bigr]+1\bigl[(-2)(-2)-(1)(1)\bigr]

= -2\,(-2-4)+2\,(4+2)+1\,(4-1) = 12+12+3 = 27 \neq 0

La inversa, por un atajo. Calculando

A^{2}

A^{2} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix} = 9I

(Primera fila: $\;4+4+1 = 9$ ; $\;4-2-2 = 0$ ; $\;-2+4-2 = 0$ .)

De

A\cdot A = 9I

se sigue

\;A\cdot\dfrac{A}{9} = I

A^{-1} = \frac{A}{9} = \frac19\begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}

b) El sistema $AX = 3X$ .

(A-3I)\,X = 0 \qquad \text{con} \qquad A-3I = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -5\end{pmatrix}

El determinante:

\det(A-3I) = -5\,(10-4)+2\,(10+2)+1\,(4+2) = -30+24+6 = 0

Es homogéneo con determinante nulo: hay infinitas soluciones. El menor

\begin{vmatrix} -5 & -2 \\ -2 & -2\end{vmatrix} = 10-4 = 6 \neq 0

\operatorname{rg}(A-3I) = 2

, luego queda un parámetro libre.

Resolvemos. La segunda ecuación, simplificada entre

-2

x+y+z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -x-z

En la primera:

-5x-2\,(-x-z)+z = -5x+2x+2z+z = -3x+3z = 0 \;\Longrightarrow\; x = z

y = -x-x = -2x

Comprobación en la tercera:

\;x-2(-2x)-5x = x+4x-5x = 0

\;\checkmark

Con

x = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; -2t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Interpretación geométrica. El conjunto de soluciones es

\bigl\{t\,(1,\,-2,\,1) \ : \ t\in\mathbb{R}\bigr\}

\textbf{Una recta que pasa por el origen, con vector director } (1,-2,1)

(Al ser homogéneo, el origen siempre es solución; el rango $2$ con $3$ incógnitas deja dimensión $3-2 = 1$ : una recta.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Detectar que $A^{2} = 9I$ ahorra todo el cálculo de adjuntas: $A^{-1} = \frac{A}{9}$ sale en una línea. Merece la pena probar $A^{2}$ siempre que la matriz tenga aspecto simétrico.

$AX = 3X$ no es $AX = 3$ : hay que pasar todo a un lado y sacar factor común $X$ , con $3X = (3I)X$ . El resultado es $(A-3I)X = 0$ , un sistema homogéneo.

La interpretación geométrica sale del rango: con $3$ incógnitas, rango $2$ $\to$ recta por el origen; rango $1$ $\to$ plano; rango $3$ $\to$ solo el origen.