Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}

a) [1,75 puntos] Calcula el rango de

A

dependiendo de los valores de

\alpha

.

b) [0,75 puntos] Para

\alpha = 2

, resuelve la ecuación matricial

\;AX = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = \alpha^{3}-3\alpha+2 = (\alpha-1)^{2}(\alpha+2)\;}

\boxed{\;\alpha\neq1,-2: \operatorname{rg}A = 3\;}

\boxed{\;\alpha = 1: \text{ filas proporcionales} \Rightarrow \operatorname{rg}A = 1; \quad \alpha = -2: \operatorname{rg}A = 2\;}

\boxed{\;\text{b) } \alpha = 2 \ (\det A = 4): \quad X = (0,\,1,\,1)^{t}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se calcula $\det A$ , que sale un polinomio de tercer grado factorizable, y se estudia cada raíz por separado con menores de orden $2$ . Ojo: en una de las raíces el rango baja hasta $1$ .
b) Con $\alpha = 2$ el determinante no se anula, así que $A$ es invertible y $X = A^{-1}B$ . Aquí es más rápido resolver el sistema $3\times3$ directamente por sustitución.

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det A = \alpha\begin{vmatrix} \alpha & -1 \\ -1 & \alpha\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \alpha\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix} 1 & \alpha \\ -1 & -1\end{vmatrix}

= \alpha\,(\alpha^{2}-1)-1\,(\alpha-1)-1\,(-1+\alpha)

= \alpha^{3}-\alpha-\alpha+1+1-\alpha = \alpha^{3}-3\alpha+2

Factorizando (

\alpha = 1

es raíz):

\alpha^{3}-3\alpha+2 = (\alpha-1)\bigl(\alpha^{2}+\alpha-2\bigr) = (\alpha-1)^{2}(\alpha+2)

\det A = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = 1 \ \text{ (doble)} \quad \text{o} \quad \alpha = -2

Caso $\alpha\neq1$ y $\alpha\neq-2$ :

\operatorname{rg}A = 3

Caso $\alpha = 1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}

Las tres filas son proporcionales (

F_{2} = F_{1}

F_{3} = -F_{1}

): todos los menores de orden

2

se anulan.

\operatorname{rg}A = 1

Caso $\alpha = -2$ :

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & -2\end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = 4-1 = 3 \neq 0

\operatorname{rg}A = 2

Resumen.

\operatorname{rg}A = \begin{cases} 3 & \text{si } \alpha\neq1 \ \text{ y } \ \alpha\neq-2 \\ 2 & \text{si } \alpha = -2 \\ 1 & \text{si } \alpha = 1\end{cases}

b) Con $\alpha = 2$ . Como

\det A = (2-1)^{2}(2+2) = 4 \neq 0

, hay solución única. El sistema

AX = B

\begin{cases} 2x+\phantom{2}y-z = 0 \\ \phantom{2}x+2y-z = 1 \\ -\phantom{2}x-\phantom{2}y+2z = 1\end{cases}

Restando la segunda de la primera:

x-y = -1 \;\Longrightarrow\; x = y-1

De la primera:

\;z = 2x+y = 2\,(y-1)+y = 3y-2

.

Sustituyendo en la tercera:

-(y-1)-y+2\,(3y-2) = -y+1-y+6y-4 = 4y-3 = 1 \;\Longrightarrow\; y = 1

x = 1-1 = 0 \qquad z = 3-2 = 1

X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}

Comprobación.

\;2(0)+1-1 = 0

\checkmark

;

\;0+2-1 = 1

\checkmark

;

\;0-1+2 = 1

\checkmark

(Curiosidad: sale $X = B$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El rango en las raíces del determinante no siempre es $2$ . Aquí, con $\alpha = 1$ , las tres filas son proporcionales y el rango cae a $1$ : hay que mirarlo caso por caso.

Que $\alpha = 1$ sea raíz doble es la pista de que ahí pasa algo especial. Si al factorizar te sale un cuadrado, sospecha una degeneración mayor.

En b), con la matriz invertible puedes hacer $X = A^{-1}B$ , pero resolver el sistema por sustitución es más rápido y menos propenso a errores que calcular una inversa $3\times3$ .