Sistemas de ecuaciones

Matrices.$$A = \begin{pmatrix} m & 0 & m+1 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 1 & m\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 0 & m+1 & m \\ 0 & m & 1 & m \\ 0 & 1 & m & m\end{array}\right)$$a) Determinante. Desarrollando por la primera columna:$$|A| = m\cdot\left|\begin{array}{cc} m & 1 \\ 1 & m\end{array}\right| = m\,\bigl(m^{2} - 1\bigr) = m\,(m-1)(m+1)$$$$|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0, \quad m = 1 \quad \text{o} \quad m = -1$$Caso $m \neq 0, 1, -1$. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3$: compatible determinado.

Caso $m = 0$.$$A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$$Todos los términos independientes valen $0$: el sistema es homogéneo y, por tanto, compatible. Las dos primeras filas son iguales; con el menor $\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right| = -1 \neq 0$ (columnas segunda y tercera, filas primera y tercera):$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}$$(Su solución es $z = 0$, $y = 0$ y $x$ libre: la recta $(t,0,0)$, el eje $OX$.)

Caso $m = 1$.$$A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$$Las filas segunda y tercera son idénticas, término independiente incluido: sobra una. Con el menor $\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0$:$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}$$Caso $m = -1$.$$A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1 \\ \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}1 & -1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1 & -1\end{array}\right)$$En la matriz de coeficientes la tercera fila es la opuesta de la segunda, pero en los términos independientes ambas valen $-1$ (y $-1\cdot(-1) = 1 \neq -1$). Sumando las dos últimas ecuaciones:$$0 = -2 \qquad \text{(absurdo)}$$$$\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}$$b) Resolución con $m = 1$. Quedan dos ecuaciones independientes:$$\begin{cases} x + 2z = 1 \\ y + \phantom{2}z = 1\end{cases}$$Tomando $z = t$ como parámetro:$$x = 1 - 2t, \qquad y = 1 - t$$$$(x, y, z) = \bigl(1 - 2t,\; 1 - t,\; t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación: $\;(1-2t) + 2t = 1\;\checkmark$; $\;(1-t) + t = 1\;\checkmark$ (dos veces, en la segunda y la tercera ecuación).