Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el

75\,\%

de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido

8

horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

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Resultado

\boxed{\;\text{Fase I} = 24 \ \text{min}, \qquad \text{Fase II} = 240 \ \text{min}, \qquad \text{Fase III} = 96 \ \text{min}\;}

\boxed{\;\text{(Total NO-REM} = 360 \text{ minutos} = 75\,\% \text{ de las 8 horas)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de plantear nada hay que hacer dos conversiones que el enunciado esconde:

Las unidades: la pregunta es en minutos, y el dato viene en horas. $8$ horas $= 480$ minutos.
El total: las tres fases no suman las $8$ horas, sino solo el $75\,\%$ de ellas (la fase NO-REM). Ese es el número que hay que repartir.

Con el total correcto, las otras dos condiciones se traducen directamente y el sistema sale por sustitución, sin necesidad de Gauss ni Cramer.

Desarrollo

Conversión de unidades y total repartido.

8 \ \text{horas} = 8 \cdot 60 = 480 \ \text{minutos}

\text{Fase NO-REM} = 75\,\% \ \text{de } 480 = 0{,}75 \cdot 480 = 360 \ \text{minutos}

Incógnitas.

x

y

z

= minutos dedicados a las Fases I, II y III, respectivamente.

Ecuaciones.

\begin{cases} x + y + z = 360 & \text{(las tres fases suman la NO-REM)} \\ y = 2\,(x + z) & \text{(la Fase II, el doble que I y III juntas)} \\ z = 4x & \text{(la Fase III, el cuádruple que la I)} \end{cases}

Resolución. Sustituyendo la segunda en la primera:

x + 2\,(x + z) + z = 360 \;\Longrightarrow\; 3x + 3z = 360 \;\Longrightarrow\; x + z = 120

Y volviendo a la segunda ecuación:

y = 2 \cdot 120 = 240

Ahora, con

z = 4x

x + z = 120

x + 4x = 120 \;\Longrightarrow\; 5x = 120 \;\Longrightarrow\; x = 24, \qquad z = 96

Comprobación.

24 + 240 + 96 = 360 \quad \checkmark

240 = 2\,(24 + 96) = 2 \cdot 120 \quad \checkmark

96 = 4 \cdot 24 \quad \checkmark

Interpretación. De las

8

horas de sueño,

360

minutos (

6

horas) son fase NO-REM y los otros

120

minutos (

2

horas) son fase REM. Dentro de la NO-REM: $24$ minutos de adormecimiento, $4$ horas de sueño ligero y $1$ hora y $36$ minutos de sueño profundo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El total que se reparte no son los $480$ minutos, sino los $360$ de la fase NO-REM. Si escribes $x+y+z = 480$ todo lo demás está bien pero los tres números salen mal, y es el error que más veces cuesta el ejercicio entero. Léelo despacio: las tres fases son subdivisiones de la NO-REM, no de todo el sueño.

Y contesta en las unidades que se piden: la pregunta dice "¿cuántos minutos?". Dar $0{,}4$ horas para la Fase I es correcto matemáticamente pero no responde al enunciado.