Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema dado por

AX = B

con

A = \begin{pmatrix} \alpha & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & \alpha\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha-2 \\ 3\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de

\alpha

para los que el sistema tiene solución única.

b) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de

\alpha

para los que el sistema no tiene solución.

c) [1 punto] Determina, si existen, los valores de

\alpha

para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = \alpha(\alpha-8)+15 = (\alpha-3)(\alpha-5)\;}

\boxed{\;\text{a) } \alpha\neq3,5 \Rightarrow \text{solución única}\;}

\boxed{\;\text{b) } \alpha = 5: \ \operatorname{rg}A = 2 < \operatorname{rg}A^{*} = 3 \Rightarrow \text{sin solución}\;}

\boxed{\;\text{c) } \alpha = 3: \ (x,y,z) = \left(\tfrac{5t-1}{3},\, 1-2t,\, t\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una discusión por Rouché-Frobenius presentada en tres preguntas, una por cada caso posible:

a) solución única $\iff$ $\det A \neq 0$ .
b) sin solución $\iff$ $\operatorname{rg}A < \operatorname{rg}A^{*}$ .
c) "al menos dos soluciones" significa infinitas (en un sistema lineal nunca hay exactamente dos): $\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^{*} < 3$ .

Lo primero es el determinante, y luego analizar por separado cada valor que lo anule.

Desarrollo

El determinante. Desarrollando por la primera columna:

\det A = \alpha\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & \alpha\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = \alpha(\alpha-8)+3\cdot 5 = \alpha^{2}-8\alpha+15

\det A = (\alpha-3)(\alpha-5) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = 3 \quad \text{o} \quad \alpha = 5

a) Solución única.

\boxed{\alpha \neq 3 \ \text{ y } \ \alpha\neq 5} \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^{*} = 3 = n \;\Longrightarrow\; \textbf{S.C.D.}

Caso $\alpha = 5$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 & 3\end{array}\right)

\operatorname{rg}A = 2

(por ejemplo

\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 5\neq 0

). Para la ampliada, orlamos con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 3\end{vmatrix} = 5(3-12)-2(0-9)+1(0-3) = -45+18-3 = -30 \neq 0

\operatorname{rg}A = 2 < \operatorname{rg}A^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

b) No tiene solución.

\alpha = 5

Caso $\alpha = 3$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 & 3\end{array}\right)

Aquí

F_{3} = F_{1}+2F_{2}

(también en la columna de términos independientes:

1+2\cdot1 = 3

\checkmark

). Por tanto

\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

c) Al menos dos soluciones: $\alpha = 3$ . Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (la tercera es combinación de ellas) y tomamos

z = t

como parámetro:

\begin{cases} 3x+2y-z = 1 \\ y+2z = 1\end{cases}

De la segunda:

\;y = 1-2t

. Sustituyendo en la primera:

3x+2(1-2t)-t = 1 \;\Longrightarrow\; 3x = 5t-1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{5t-1}{3}

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{5t-1}{3},\; 1-2t,\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación en la tercera ecuación (

3x+4y+3z = 3

(5t-1)+4(1-2t)+3t = 5t-1+4-8t+3t = 3 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Al menos dos soluciones" significa infinitas: un sistema lineal tiene $0$ , $1$ o infinitas soluciones, nunca exactamente dos. Reconocerlo es media respuesta del apartado c).

Ojo: el término independiente también depende de $\alpha$ . Al estudiar $\alpha=3$ y $\alpha=5$ hay que sustituirlo también en $B$ ; si dejas $\alpha-2$ sin evaluar, la discusión sale mal.

Para ver que $\alpha=3$ es compatible, lo más rápido no es orlar menores sino observar que $F_{3} = F_{1}+2F_{2}$ en toda la fila ampliada. Esa relación es la que garantiza que la tercera ecuación no aporta nada nuevo.