Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas

x

y

z

\left.\begin{array}{rcl} \lambda y+(\lambda+1)z & = & \lambda \\ \lambda x+\phantom{(\lambda+1)}z & = & \lambda \\ \phantom{\lambda}x+\phantom{(\lambda+1)}\lambda z & = & \lambda\end{array}\right\}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro

\lambda

.

b) [0,5 puntos] Resuelve el sistema para

\lambda = 1

.

c) [0,5 puntos] Para

\lambda = 0

, si es posible, da tres soluciones distintas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -\lambda\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & \lambda\end{vmatrix} = -\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)\;}

\boxed{\;\text{a) } \lambda\neq0,\pm1: \text{ S.C.D.}; \quad \lambda = -1: \text{ S.I.}; \quad \lambda = 0 \text{ y } \lambda = 1: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) } \lambda=1: \ (x,y,z) = (1-t,\; 1-2t,\; t)\;}

\boxed{\;\text{c) } \lambda=0: \ (0,s,0); \text{ p. ej. } (0,0,0),\ (0,1,0),\ (0,-5,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante tiene tres raíces, y hay que estudiarlas una a una: no todas dan el mismo tipo de sistema.

En c), la pregunta "da tres soluciones distintas" es una forma de comprobar que has entendido que el sistema es indeterminado: basta con dar tres valores del parámetro en la solución general.

Desarrollo

La matriz de coeficientes.

M = \begin{pmatrix} 0 & \lambda & \lambda+1 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \lambda\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la segunda columna (solo tiene el elemento

\lambda

arriba):

\det M = -\lambda\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 1 & \lambda\end{vmatrix} = -\lambda\bigl(\lambda^{2}-1\bigr) = -\lambda\,(\lambda-1)(\lambda+1)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 0, \quad \lambda = 1 \quad \text{o} \quad \lambda = -1

a) Discusión.

Caso $\lambda \neq 0,\,1,\,-1$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = -1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & -1\end{array}\right)

Las filas

2

3

tienen coeficientes opuestos pero el mismo término independiente (

-1

-1

): sumándolas se obtiene

0 = -2

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $\lambda = 0$ : el sistema queda

\begin{cases} z = 0 \\ z = 0 \\ x = 0\end{cases}

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Caso $\lambda = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)

Las filas

2

3

son idénticas (también el término independiente):

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $\lambda = 1$ .

\begin{cases} y+2z = 1 \\ x+\phantom{2}z = 1\end{cases}

Tomando

z = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(1-t,\; 1-2t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t=1

(0,-1,1)

;

\;-1+2 = 1\;\checkmark

\;0+1 = 1\;\checkmark

c) Tres soluciones para $\lambda = 0$ . El sistema se reduce a

x = 0

z = 0

, con

y

libre:

(x,\,y,\,z) = (0,\; s,\; 0), \qquad s\in\mathbb{R}

Tres soluciones distintas, por ejemplo:

(0,\,0,\,0), \qquad (0,\,1,\,0), \qquad (0,\,-5,\,0)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El determinante tiene tres raíces y no se comportan igual: $\lambda=-1$ es incompatible y $\lambda=0$ , $\lambda=1$ indeterminados. Estudia cada una por separado; suponer que todas dan lo mismo es el error clásico.

Aprovecha los ceros de la matriz: la segunda columna solo tiene un elemento no nulo, así que el determinante sale de un menor $2\times2$ inmediato.

En c), "tres soluciones distintas" solo tiene sentido si el sistema es indeterminado. Da la solución general primero y luego tres valores del parámetro: así se ve que sabes de dónde salen.