Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan

7{,}50

euros. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan

7{,}20

euros.

a) [1,5 puntos] Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja.

b) [1 punto] ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de

2

euros? Razona la respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad 2c + t + 3z = 2\,(3c+t+2z) - (4c+t+z) = 2\cdot 7{,}50 - 7{,}20 = 7{,}80 \text{ euros}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{No: con } z = 2 \text{ saldría } c = 1{,}70 \text{ y } t = -1{,}60 < 0, \text{ imposible}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres incógnitas y solo dos ecuaciones: el sistema es compatible indeterminado y los precios individuales no se pueden determinar. Pero el apartado a) no los pide: pide una combinación concreta, y la gracia del problema es descubrir que esa combinación sí está determinada.

El truco es buscar coeficientes

\alpha

\beta

tales que

\alpha\cdot(\text{primera cuenta}) + \beta\cdot(\text{segunda cuenta}) = 2c + t + 3z

En b) sí hay que resolver: fijando

z = 2

el sistema pasa a ser determinado, y basta comprobar si los precios que salen tienen sentido económico (es decir, si son positivos).

Desarrollo

Incógnitas.

c

= precio de un café,

t

= de una tostada,

z

= de un zumo (en euros).

Datos.

\begin{cases} 3c + t + 2z = 7{,}50 & \text{(cuenta 1)} \\ 4c + t + \phantom{2}z = 7{,}20 & \text{(cuenta 2)} \end{cases}

a) La combinación pedida. Buscamos

\alpha

\beta

con

\alpha\,(3, 1, 2) + \beta\,(4, 1, 1) = (2, 1, 3)

De la segunda componente (la tostada):

\;\alpha + \beta = 1

.

De la primera (el café):

\;3\alpha + 4\beta = 2

.

Sustituyendo

\beta = 1 - \alpha

\;3\alpha + 4 - 4\alpha = 2 \Longrightarrow \alpha = 2

, y

\beta = -1

.

Comprobación en la tercera componente (el zumo):

\;2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = 3\;\checkmark

. La combinación funciona.

Por tanto

2c + t + 3z = 2\,\bigl(3c + t + 2z\bigr) - \bigl(4c + t + z\bigr) = 2\cdot 7{,}50 - 7{,}20

= 15 - 7{,}20 = 7{,}80 \ \text{euros}

El precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos es $7{,}80$ euros, y se determina sin conocer los precios individuales.

b) ¿Puede valer el zumo $2$ euros? Restando las dos ecuaciones del enunciado:

\bigl(4c + t + z\bigr) - \bigl(3c + t + 2z\bigr) = 7{,}20 - 7{,}50 \;\Longrightarrow\; c - z = -0{,}30

c = z - 0{,}30

z = 2

, entonces

c = 1{,}70

. Llevando ambos a la segunda cuenta:

4\cdot 1{,}70 + t + 2 = 7{,}20 \;\Longrightarrow\; 6{,}80 + t + 2 = 7{,}20 \;\Longrightarrow\; t = -1{,}60

La tostada costaría $-1{,}60$ euros, lo cual es imposible: un precio no puede ser negativo.

Conclusión: no, el zumo no puede costar $2$ euros.

(De hecho, imponiendo $t > 0$ se obtiene la cota: $t = 7{,}20 - 4(z - 0{,}30) - z = 8{,}40 - 5z > 0 \Longrightarrow z < 1{,}68$ euros.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con dos ecuaciones y tres incógnitas no puedes hallar los precios individuales, y no hace falta: el apartado a) pide una combinación que resulta ser combinación lineal de las dos cuentas. Busca los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ igualando componente a componente; es lo que significa "de forma razonada".

En b), la respuesta no es matemática sino de sentido económico: el sistema tiene solución, pero con una tostada a precio negativo. Siempre que un problema hable de precios, cantidades o medidas, comprueba que las soluciones son positivas; ahí suele estar la mitad de la nota del apartado.