Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{2}x+\phantom{k}y+k z & = & 1 \\ 2x+k y\phantom{{}+2z} & = & 1 \\ \phantom{2x+{}}y+2z & = & k\end{array}\right\}

a) [1 punto] Clasifica el sistema según los valores del parámetro

k

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para

k = 1

.

c) [0,75 puntos] Resuélvelo para

k = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 4k-4 = 4\,(k-1)\;}

\boxed{\;\text{a) } k\neq1: \text{ S.C.D.}; \qquad k = 1: \text{ S.C.I. (nunca incompatible)}\;}

\boxed{\;\text{b) } k=1: \ (x,y,z) = (t,\; 1-2t,\; t)\;}

\boxed{\;\text{c) } k=-1: \ (x,y,z) = \left(\tfrac12,\; 0,\; -\tfrac12\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante sale de primer grado en

k

, así que solo hay un valor crítico.

b) $k=1$ es precisamente ese valor: hay que comprobar rangos y dar la solución con un parámetro.
c) $k=-1$ no lo es, así que el sistema es compatible determinado y la solución es única.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 2 & k & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ k\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera columna:

\det M = 1\,(2k-0)-2\,(2-k) = 2k-4+2k = 4k-4

\det M = 4\,(k-1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = 1

a) Clasificación.

Caso $k\neq1$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $k = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1\end{array}\right)

Aquí

F_{3} = 2F_{1}-F_{2}

también en el término independiente (

2\cdot1-1 = 1

\checkmark

), luego la tercera ecuación es redundante. Y el menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -1\neq0

da rango

2

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $k = 1$ . Con las dos primeras y

z = t

\begin{cases} \phantom{2}x+y = 1-t \\ 2x+y = 1\end{cases}

Restando:

\;x = 1-(1-t) = t

. Y de la primera:

y = 1-t-x = 1-t-t = 1-2t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; 1-2t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t=1

(1,-1,1)

;

\;1-1+1 = 1\;\checkmark

;

\;2-1 = 1\;\checkmark

;

\;-1+2 = 1\;\checkmark

c) Resolución para $k = -1$ . Como

\det M = -8 \neq 0

, hay solución única. El sistema es

\begin{cases} \phantom{2}x+\phantom{-}y-z = \phantom{-}1 \\ 2x-\phantom{-}y\phantom{{}-z} = \phantom{-}1 \\ \phantom{2x+{}}y+2z = -1\end{cases}

Sumando la primera y la segunda:

\;3x-z = 2

.

De la tercera:

\;y = -1-2z

. Sustituyendo en la segunda:

2x-(-1-2z) = 2x+1+2z = 1 \;\Longrightarrow\; x = -z

Y con

3x-z = 2

\;-3z-z = -4z = 2 \Rightarrow z = -\dfrac12

x = \frac12, \qquad y = -1+1 = 0, \qquad z = -\frac12

(x,\,y,\,z) = \left(\frac12,\; 0,\; -\frac12\right)

Comprobación.

\;\frac12+0+\frac12 = 1\;\checkmark

;

\;1-0 = 1\;\checkmark

;

\;0-1 = -1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El determinante es de primer grado en $k$ : solo hay un valor crítico. Eso simplifica mucho la discusión, pero no te ahorra comprobar los rangos en ese valor.

Con $k=1$ , detectar $F_{3} = 2F_{1}-F_{2}$ incluido el término independiente demuestra la compatibilidad de un vistazo y te dice qué ecuación puedes descartar.

En c) el sistema es determinado: busca combinaciones cómodas (aquí, sumar las dos primeras elimina $y$ ) en vez de triangular a ciegas. Y comprueba en las tres ecuaciones.