Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Un cajero automático contiene sólo billetes de

10

20

50

euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.

a) [1,25 puntos] ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de

10

que de

50

?

b) [1,25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de

10

es el doble que el número de billetes de

50

, calcula cuántos billetes hay de cada tipo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x+y+z = 130; \qquad 10x+20y+50z = 3000 \;\Longleftrightarrow\; x+2y+5z = 300\;}

\boxed{\;\text{a) } x = 3z \Rightarrow y = 130-4z, \ \text{y queda } 260 = 300\;}

\boxed{\;\text{a) NO es posible (sistema incompatible)}\;}

\boxed{\;\text{b) } x = 2z \Rightarrow z+260 = 300: \ x = 80, \ y = 10, \ z = 40\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamando

x

y

z

al número de billetes de

10

20

50

euros:

\begin{cases} x+y+z = 130 & \text{(número de billetes)} \\ 10x+20y+50z = 3000 & \text{(importe)}\end{cases}

La segunda se simplifica dividiendo entre

10

\;x+2y+5z = 300

.

Cada apartado añade una tercera condición (

x = 3z

x = 2z

) y se comprueba si el sistema resultante tiene solución.

Desarrollo

El sistema base.

\begin{cases} x+y+z = 130 \\ x+2y+5z = 300\end{cases}

a) ¿Puede ser $x = 3z$ ?

Sustituyendo en la primera:

3z+y+z = 130 \;\Longrightarrow\; y = 130-4z

Y en la segunda:

3z+2\,(130-4z)+5z = 3z+260-8z+5z = 260

Los términos en

z

se cancelan por completo y queda

260 = 300

\textbf{Contradicción: NO es posible}

(El sistema es incompatible: ningún número de billetes cumple las tres condiciones a la vez.)

b) Con $x = 2z$ .

Sustituyendo en la primera:

2z+y+z = 130 \;\Longrightarrow\; y = 130-3z

Y en la segunda:

2z+2\,(130-3z)+5z = 2z+260-6z+5z = z+260 = 300

z = 40

y = 130-3\cdot40 = 10 \qquad x = 2\cdot40 = 80

\textbf{80 billetes de 10, 10 billetes de 20 y 40 billetes de 50 euros}

Comprobaciones.

80+10+40 = 130 \;\checkmark

10\cdot80+20\cdot10+50\cdot40 = 800+200+2000 = 3000 \;\checkmark

x = 80 = 2\cdot40 = 2z \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Define las incógnitas como número de billetes, no como importes. Y simplifica la ecuación del dinero dividiendo entre $10$ : los números se manejan mucho mejor.

En a), la señal de incompatibilidad es que la variable desaparece y queda una igualdad numérica falsa ( $260 = 300$ ). Eso demuestra que no hay solución, sin más cálculos.

Comprueba siempre en las condiciones originales (número de billetes e importe), no en las simplificadas: es la única forma de detectar un error de traducción del enunciado.