Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 2-m & 1 & 2m-1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2m^{2}-1 \\ m \\ 1\end{pmatrix}

considera el sistema de ecuaciones lineales dado por

X^{t}A = B^{t}

, donde

X^{t}

B^{t}

denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de

m

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;X^{t}A = B^{t} \;\Longleftrightarrow\; A^{t}X = B: \text{ la matriz del sistema es } A^{t}\;}

\boxed{\;|A| = -2\,(m-1)^{2}(m+2) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \text{ o } m = -2\;}

\boxed{\;m \neq 1,\,-2: \text{ determinado} \quad\big|\quad m = 1: \text{ indeterminado (2 parámetros)} \quad\big|\quad m = -2: \text{ incompatible}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La primera dificultad es de lectura: el sistema no es

AX = B

, sino

X^{t}A = B^{t}

. Trasponiendo los dos miembros y usando

(MN)^{t} = N^{t}M^{t}

\bigl(X^{t}A\bigr)^{t} = \bigl(B^{t}\bigr)^{t} \;\Longrightarrow\; A^{t}X = B

Es decir, la matriz de coeficientes es $A^{t}$ , no

A

. (El determinante es el mismo,

|A^{t}| = |A|

, pero la matriz ampliada no: con

A

estarías discutiendo otro sistema. Aquí la clasificación coincidiría por casualidad, pero las soluciones serían otras, y en general ni siquiera la discusión de los casos críticos coincide.)

A partir de ahí, discusión estándar por Rouché–Frobenius.

Desarrollo

La matriz del sistema.

A^{t} = \begin{pmatrix} 2-m & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ 2m-1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2-m & 1 & m & 2m^{2}-1 \\ 1 & m & 1 & m \\ 2m-1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)

Determinante. Como

|A^{t}| = |A|

, se puede calcular con la matriz que resulte más cómoda:

|A| = (2-m)\,(m - 1) - 1\,(1 - m) + (2m-1)\,\bigl(1 - m^{2}\bigr)

= \bigl(-m^{2} + 3m - 2\bigr) + (m - 1) + \bigl(2m - 2m^{3} - 1 + m^{2}\bigr)

= -2m^{3} + 6m - 4 = -2\bigl(m^{3} - 3m + 2\bigr)

Factorizando (

m = 1

es raíz):

m^{3} - 3m + 2 = (m-1)\bigl(m^{2} + m - 2\bigr) = (m-1)^{2}(m+2)

|A| = -2\,(m-1)^{2}\,(m+2)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = -2

Caso $m \neq 1$ y $m \neq -2$ .

\operatorname{rg}(A^{t}) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3 = n \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible determinado}

Caso $m = 1$ .

A^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 - 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}

Las tres ecuaciones son la misma,

x + y + z = 1

\operatorname{rg}(A^{t}) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 1 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ (dos parámetros)}

Caso $m = -2$ .

A^{t} = \begin{pmatrix} \phantom{-}4 & \phantom{-}1 & -2 \\ \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}1 \\ -5 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} \phantom{-}7 \\ -2 \\ \phantom{-}1\end{pmatrix}

El menor

\left|\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right| = -8 - 1 = -9 \neq 0

\operatorname{rg}(A^{t}) = 2

. Orlando con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}4 & \phantom{-}1 & \phantom{-}7 \\ \phantom{-}1 & -2 & -2 \\ -5 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{array}\right| = 4\,(-2 + 2) - 1\,(1 - 10) + 7\,(1 - 10) = 0 + 9 - 63 = -54 \neq 0

\operatorname{rg}(A^{t}) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Traspón antes de nada. $X^{t}A = B^{t}$ equivale a $A^{t}X = B$ . Trabajar con $A$ en lugar de $A^{t}$ da el mismo determinante pero otro sistema, con otra matriz ampliada: aquí la discusión coincidiría por casualidad, pero no las soluciones, y en general tampoco los casos críticos. Es exactamente la trampa que plantea el ejercicio.

Que $m=1$ sea raíz doble de $|A|$ no significa nada especial por sí solo; hay que estudiar el caso igual que cualquier otro. Aquí resulta que el rango baja hasta $1$ , así que la solución depende de dos parámetros, no de uno: conviene decirlo explícitamente.

Y en $m=-2$ , para justificar la incompatibilidad hay que exhibir el menor orlado no nulo. No basta con decir "el determinante es cero, luego no es determinado": eso deja abiertas las dos posibilidades restantes.