Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sea

M

una matriz cuadrada de orden

3

tal que su determinante es

\det(M) = 2

. Calcula:

a) [0,5 puntos] El rango de

M^{3}

.

b) [0,75 puntos] El determinante de

2M^{t}

(

M^{t}

es la matriz traspuesta de

M

).

c) [0,75 puntos] El determinante de

\bigl(M^{-1}\bigr)^{2}

.

d) [0,5 puntos] El determinante de

N

, donde

N

es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de

M

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \det\bigl(M^{3}\bigr) = 2^{3} = 8 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}\bigl(M^{3}\bigr) = 3\;}

\boxed{\;\text{b) } \det\bigl(2M^{t}\bigr) = 2^{3}\det M = 8\cdot 2 = 16\;}

\boxed{\;\text{c) } \det\Bigl(\bigl(M^{-1}\bigr)^{2}\Bigr) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac14\;}

\boxed{\;\text{d) } \det N = -\det M = -2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo con propiedades, sin conocer las entradas de

M

$\det(M^{n}) = (\det M)^{n}$ , y una matriz cuadrada tiene rango máximo $\iff$ su determinante no es nulo.
$\det(kM) = k^{3}\det M$ en orden $3$ , y $\det(M^{t}) = \det M$ .
$\det(M^{-1}) = \dfrac{1}{\det M}$ .
Cada intercambio de filas cambia el signo del determinante.

Desarrollo

a) El rango de $M^{3}$ .

\det\bigl(M^{3}\bigr) = (\det M)^{3} = 2^{3} = 8 \neq 0

Una matriz

3\times3

con determinante no nulo tiene rango máximo:

\operatorname{rg}\bigl(M^{3}\bigr) = 3

b) El determinante de $2M^{t}$ . Dos propiedades encadenadas:

\det\bigl(2M^{t}\bigr) = 2^{3}\det\bigl(M^{t}\bigr) = 8\cdot\det M = 8\cdot 2 = 16

(El factor $2$ multiplica las tres filas, de ahí el $2^{3}$ ; y trasponer no cambia el determinante.)

c) El determinante de $\bigl(M^{-1}\bigr)^{2}$ .

\det\Bigl(\bigl(M^{-1}\bigr)^{2}\Bigr) = \Bigl(\det\bigl(M^{-1}\bigr)\Bigr)^{2} = \left(\frac{1}{\det M}\right)^{2} = \left(\frac12\right)^{2} = \frac{1}{4}

d) El determinante de $N$ .

N

se obtiene de

M

con un intercambio de filas:

\det N = -\det M = -2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\det(2M^{t}) = 2^{3}\det M$ , no $2\det M$ . El factor afecta a las tres filas de una matriz de orden $3$ ; que además esté traspuesta no cambia nada.

El rango de $M^{3}$ no requiere calcular la potencia: basta con que su determinante, $(\det M)^{3}$ , sea distinto de cero.

Un intercambio de filas cambia el signo del determinante; dos intercambios lo dejan igual. Cuenta cuántos haces en cada transformación.