Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2014 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{pmatrix}

Determina, si existe, la matriz

X

que verifica

A\,X+B = A^{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{existe } X \text{ y es única}\;}

\boxed{\;A^{2} = \begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}, \qquad A^{2}-B = \begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&2&1\\1&-2&-2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = A^{-1}(A^{2}-B), \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 0&1&0\\1&0&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ecuación matricial lineal, así que se despeja directamente:

A\,X = A^{2}-B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(A^{2}-B\bigr)

Como

A

multiplica por la izquierda, la inversa entra por la izquierda.

Hay que comprobar primero que

\det A \neq 0

(si fuera nulo, la matriz

X

podría no existir o no ser única).

(Alternativa equivalente y algo más corta: $X = A^{-1}A^{2}-A^{-1}B = A-A^{-1}B$ .)

Desarrollo

El determinante de $A$ . Desarrollando por la tercera fila:

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -1 \neq 0

A \text{ es invertible: la ecuación tiene solución única}

El cuadrado de $A$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

La resta.

A^{2}-B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}

La inversa de $A$ .

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = I$ . Es fácil de ver: $A$ intercambia las dos primeras coordenadas y suma la tercera a la primera.)

La matriz $X$ .

X = A^{-1}\bigl(A^{2}-B\bigr) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}

Fila a fila:

F_{1}: \ (-1,\; 2,\; 1)

F_{2}: \ (0-1,\; 1+2,\; 0+2) = (-1,\; 3,\; 2)

F_{3}: \ (1,\; -2,\; -2)

X = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix}

Comprobación.

A\,X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{pmatrix} = A^{2}-B \;\Longrightarrow\; A\,X+B = A^{2} \quad \checkmark

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Consejo

Despeja antes de calcular: $X = A^{-1}(A^{2}-B)$ . Y como $A$ está a la izquierda de $X$ , la inversa entra por la izquierda; $(A^{2}-B)A^{-1}$ daría otra matriz distinta.

Comprueba que $\det A\neq0$ antes de invertir: es lo que justifica la frase "si existe" del enunciado. Con determinante nulo habría que discutir el sistema por otro camino.

Atajo útil: $A^{-1}A^{2} = A$ , así que también puedes escribir $X = A-A^{-1}B$ . Es la misma matriz con una multiplicación menos, y sirve de comprobación cruzada.