Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & t+1 & t-1 \\ -2t-1 & 0 & t+3\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,75 puntos] Calcula el rango de

A

según los diferentes valores de

t

.

b) [0,75 puntos] Razona para qué valores de

t

el sistema homogéneo

\;AX = \mathbf{0}\;

tiene más de una solución.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = (t^{2}+4t+3)-(2t^{2}+t+5) = -t^{2}+3t-2 = -(t-1)(t-2)\;}

\boxed{\;t\neq1,2: \ \operatorname{rg}A = 3\;}

\boxed{\;t = 1: \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4\end{vmatrix} = 4\neq0; \quad t = 2: \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = 1\neq0 \;\Rightarrow\; \operatorname{rg}A = 2\;}

\boxed{\;\text{b) Más de una solución} \iff \operatorname{rg}A<3 \iff t = 1 \ \text{o} \ t = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se calcula $\det A$ (polinomio en $t$ ). Donde no se anula, el rango es $3$ . En cada raíz hay que bajar a los menores de orden $2$ para decidir si el rango es $2$ o $1$ .
b) Un sistema homogéneo siempre es compatible (la solución trivial). Tiene más de una solución exactamente cuando es indeterminado, es decir, cuando

\operatorname{rg}A < 3 \;\Longleftrightarrow\; \det A = 0

El apartado b) se resuelve, pues, con la discusión de a).

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollamos por la primera fila (el

0

ahorra un menor):

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} t+1 & t-1 \\ 0 & t+3\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix} 2 & t-1 \\ -2t-1 & t+3\end{vmatrix}

Primer menor:

(t+1)(t+3)-0 = t^{2}+4t+3

Segundo menor:

2\,(t+3)-(t-1)(-2t-1) = 2t+6-\bigl(-2t^{2}-t+2t+1\bigr) = 2t+6+2t^{2}-t-1 = 2t^{2}+t+5

Restando:

\det A = \bigl(t^{2}+4t+3\bigr)-\bigl(2t^{2}+t+5\bigr) = -t^{2}+3t-2

\det A = -\bigl(t^{2}-3t+2\bigr) = -(t-1)(t-2)

\det A = 0 \;\Longleftrightarrow\; t = 1 \quad \text{o} \quad t = 2

Caso $t\neq1$ y $t\neq2$ :

\operatorname{rg}A = 3

Caso $t = 1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 4\end{pmatrix}

Un menor de orden

2

no nulo:

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 4\end{vmatrix} = 4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}A = 2

(Se ve además que $F_{2} = 2F_{1}$ : esa es exactamente la dependencia.)

Caso $t = 2$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ -5 & 0 & 5\end{pmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = 3-2 = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}A = 2

Resumen.

\operatorname{rg}A = \begin{cases} 3 & \text{si } t\neq1 \ \text{ y } \ t\neq2 \\ 2 & \text{si } t = 1 \ \text{ o } \ t = 2\end{cases}

b) El sistema homogéneo.

AX = \mathbf{0}

tiene siempre la solución trivial

(0,0,0)

, luego es compatible para todo

t

. Por Rouché-Frobenius, con

3

incógnitas:

\operatorname{rg}A = 3 \;\Longrightarrow\; \text{única solución (la trivial)}

\operatorname{rg}A = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \text{infinitas soluciones}

\textbf{Más de una solución} \;\Longleftrightarrow\; t = 1 \ \text{ o } \ t = 2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al desarrollar por una fila, no olvides los signos alternados: el término de la posición $(1,2)$ va con signo $-$ . Aquí ese menos es el que convierte $t^{2}$ en $-t^{2}$ .

En cada raíz del determinante hay que exhibir un menor de orden 2 no nulo para afirmar que el rango es $2$ . Decir "como $\det A = 0$ , el rango es $2$ " no vale: podría ser $1$ .

Un sistema homogéneo nunca es incompatible. La única pregunta es si tiene solo la trivial ( $\operatorname{rg} = n$ ) o infinitas ( $\operatorname{rg} < n$ ).