Ejercicio 4 (bloque con optatividad 2). Considera la matriz A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} a) [1,25 puntos] Calcula A^{4} y A^{31}. b) [1,25 puntos] Halla razonadamente el determinante de la matriz 4A^{25}\bigl(A^{t}\bigr)^{4}.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2025 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque con optatividad 2). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Calcula

A^{4}

A^{31}

.

b) [1,25 puntos] Halla razonadamente el determinante de la matriz

4A^{25}\bigl(A^{t}\bigr)^{4}

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{4} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad A^{31} = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \bigl|4A^{25}(A^{t})^{4}\bigr| = 4^{2}\,|A|^{29} = 16\;}

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Estrategia

Nadie espera que multipliques treinta y una veces: la gracia está en buscar el patrón. Basta calcular

A^{2}

para descubrir que

A^{2} = -I

, y de ahí sale todo: las potencias se repiten con periodo

4

.

En b) tampoco hay que calcular la matriz: se aplican las propiedades del determinante —

|A^{n}| = |A|^{n}

|A^{t}| = |A|

y, muy importante,

|kM| = k^{n}|M|

para una matriz de orden

n

(aquí

n=2

, así que el

4

de fuera se convierte en

4^{2} = 16

Desarrollo

a) Potencias de $A$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

De aquí se sigue todo:

A^{3} = A^{2}A = -I\cdot A = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

A^{4} = \bigl(A^{2}\bigr)^{2} = (-I)^{2} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Es decir, las potencias son periódicas de periodo

4

A,\ -I,\ -A,\ I,\ A,\ \dots

Para

A^{31}

dividimos el exponente entre

4

31 = 4\cdot 7 + 3

, luego

A^{31} = \bigl(A^{4}\bigr)^{7}A^{3} = I^{7}\cdot A^{3} = A^{3} = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

b) El determinante. No hace falta calcular la matriz. Primero, el determinante de

A

|A| = 0\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1

Aplicando las propiedades, y teniendo en cuenta que las matrices son de orden $2$ :

\bigl|\,4A^{25}\bigl(A^{t}\bigr)^{4}\,\bigr| = 4^{2}\cdot\bigl|A^{25}\bigr|\cdot\bigl|\bigl(A^{t}\bigr)^{4}\bigr| = 16\cdot|A|^{25}\cdot\bigl|A^{t}\bigr|^{4} = 16\cdot|A|^{25}\cdot|A|^{4}

= 16\cdot 1^{25}\cdot 1^{4} = 16

Comprobación directa (opcional). Con

25 = 4\cdot 6 + 1

resulta

A^{25} = A

, y

\bigl(A^{t}\bigr)^{4} = \bigl(A^{4}\bigr)^{t} = I

, luego la matriz es

4A\cdot I = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \left|\begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 4 & 0\end{array}\right| = 0 - (-16) = 16

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Consejo

El error que más puntos cuesta en b) es escribir $|4M| = 4|M|$ . La constante multiplica a cada una de las $n$ filas, así que $|kM| = k^{n}|M|$ ; aquí $n=2$ y sale $16$ , no $4$ .

Y en a), calcula $A^{2}$ antes de nada. Con $A^{2} = -I$ el periodo es $4$ y cualquier potencia se resuelve con el resto de dividir el exponente entre $4$ . Multiplicar repetidamente es perder el tiempo y garantizar un error de signo.