Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2024 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque C). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{9} & 0 & 0 \end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices

\Bigl((AB)^{5}\Bigr)^{-1}

\;27AB^{6}

.

b) [1,25 puntos] Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica que

AXB = 9I

, donde

I

es la matriz identidad de orden

3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \left|\bigl((AB)^{5}\bigr)^{-1}\right| = -1, \qquad \bigl|27AB^{6}\bigr| = \frac{1}{3}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = 9A^{-1}B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 18 \\ 0 & 1 & -63 \\ 9 & 0 & -162\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no hay que calcular ninguna matriz: basta con

|A|

|B|

y las propiedades

|MN| = |M|\,|N|, \qquad \bigl|M^{n}\bigr| = |M|^{n}, \qquad \bigl|M^{-1}\bigr| = \frac{1}{|M|}, \qquad |kM| = k^{3}|M|

Esta última, con el

k^{3}

, es la que más se falla. Los dos determinantes tienen "trampas" cómodas:

|A| = 9

|B| = -\frac{1}{9}

están puestos para que casi todo se cancele.

En b) se despeja

X = A^{-1}(9I)B^{-1} = 9A^{-1}B^{-1}

, multiplicando por

A^{-1}

por la izquierda y por

B^{-1}

por la derecha. Antes hay que comprobar que ambas inversas existen, que es justo lo que garantiza el apartado a).

Desarrollo

Los dos determinantes de partida.

A

es diagonal por bloques (un bloque

2\times 2

y un

1

), así que desarrollando por la tercera fila:

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 7 & 2\end{array}\right| = 1\cdot(2 + 7) = 9

Para

B

, desarrollamos por la segunda fila (solo tiene un elemento no nulo,

b_{22}=1

|B| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ \frac{1}{9} & 0\end{array}\right| = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}

Por tanto

|AB| = |A|\,|B| = 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right) = -1

.

a) Primer determinante.

\left|\Bigl((AB)^{5}\Bigr)^{-1}\right| = \frac{1}{\bigl|(AB)^{5}\bigr|} = \frac{1}{|AB|^{5}} = \frac{1}{(-1)^{5}} = -1

Segundo determinante. Ojo al

27

: multiplica a cada una de las tres filas, así que sale elevado al cubo.

\bigl|27AB^{6}\bigr| = 27^{3}\cdot|A|\cdot|B|^{6} = 27^{3}\cdot 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^{6} = 3^{9}\cdot\frac{9}{9^{6}} = \frac{3^{9}\cdot 3^{2}}{3^{12}} = \frac{3^{11}}{3^{12}} = \frac{1}{3}

b) La matriz $X$ . Como

|A| = 9 \neq 0

|B| = -\frac{1}{9}\neq 0

, ambas son invertibles y se puede despejar:

AXB = 9I \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\,(9I)\,B^{-1} = 9\,A^{-1}B^{-1}

Inversa de $A$ . Por bloques, basta invertir el

2\times 2

\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 2\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -7 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}

Inversa de $B$ . Con la matriz de adjuntos traspuesta y

|B| = -\frac{1}{9}

\operatorname{Adj}(B)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{9} & 0 \\ -\frac{1}{9} & 0 & 2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; B^{-1} = -9\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{9} & 0 \\ -\frac{1}{9} & 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18\end{pmatrix}

(Se comprueba en un momento: $B\,B^{-1} = I$ .)

El producto. Como

9A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 18 \\ 0 & 1 & -63 \\ 9 & 0 & -162 \end{pmatrix}

Comprobación. Multiplicando,

AXB = 9I

A\,X\,B = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\bigl|27M\bigr| = 27^{3}|M|$ , no $27|M|$ . Para una matriz de orden $n$ , el escalar sale elevado a $n$ porque multiplica a las $n$ filas. Aquí es la diferencia entre $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2187}$ , un número $729$ veces menor.

En b), despeja simbólicamente antes de calcular ninguna inversa, y respeta los lados: $A^{-1}$ por la izquierda y $B^{-1}$ por la derecha. Con matrices, $A^{-1}B^{-1}$ y $B^{-1}A^{-1}$ son distintas, y solo una de las dos resuelve la ecuación.