Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Encuentra los valores de

a

para los que el sistema dado por

A\,X = 2X

tiene infinitas soluciones.

b) [1 punto] Para

a = 0

, si es posible, resuelve

A\,X = 2X

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A\,X = 2X \;\Longleftrightarrow\; \bigl(A - 2I\bigr)X = 0 \quad (\text{sistema homogéneo})\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad |A-2I| = a\,(a-3)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \text{ o } a = 3\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (t,\, t,\, t), \qquad t\in\mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es reescribir la ecuación.

A\,X = 2X

no es un sistema con término independiente

2X

: hay que pasarlo todo a un lado,

A\,X - 2X = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(A - 2I\bigr)X = 0

donde el

2

se convierte en

2I

(la identidad), no en un

2

suelto. El resultado es un sistema homogéneo con matriz

A - 2I

.

Al ser homogéneo, nunca es incompatible: "infinitas soluciones" equivale a

|A - 2I| = 0

Desarrollo

Reescritura.

A - 2I = \begin{pmatrix} a-2 & 1 & 1 \\ 1 & a-2 & 1 \\ 1 & 1 & a-2\end{pmatrix}

a) Determinante. Llamando

u = a - 2

, la matriz es la clásica con

u

en la diagonal y

1

fuera:

\left|\begin{array}{ccc} u & 1 & 1 \\ 1 & u & 1 \\ 1 & 1 & u\end{array}\right| = u^{3} - 3u + 2 = (u-1)^{2}(u+2)

Deshaciendo el cambio (

u = a-2

|A - 2I| = (a - 3)^{2}\,a

|A - 2I| = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 3 \quad \text{o} \quad a = 0

Como el sistema es homogéneo, siempre tiene la solución trivial; hay infinitas exactamente cuando el determinante se anula:

a = 0 \qquad \text{o} \qquad a = 3

b) Caso $a = 0$ .

A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & -2 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -2\end{pmatrix}

El menor

\left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right| = 4 - 1 = 3 \neq 0

\operatorname{rg} = 2

: hay un parámetro.

El sistema es

\begin{cases} -2x + \phantom{2}y + \phantom{2}z = 0 \\ \phantom{-2}x - 2y + \phantom{2}z = 0 \\ \phantom{-2}x + \phantom{2}y - 2z = 0\end{cases}

Restando la segunda de la primera:

-3x + 3y = 0 \;\Longrightarrow\; y = x

Restando la tercera de la segunda:

-3y + 3z = 0 \;\Longrightarrow\; z = y

x = y = z

(x, y, z) = (t,\, t,\, t), \qquad t \in \mathbb{R}

Comprobación:

\;-2t + t + t = 0\;\checkmark

en las tres ecuaciones (por simetría).

Interpretación: con

a=0

, la ecuación

AX = 2X

dice que

2

es un autovalor de

A

, y las soluciones son su recta de autovectores, la bisectriz

x=y=z

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El paso decisivo es escribir $A\,X - 2X = (A - 2I)X$ . El $2$ que multiplica a $X$ debe convertirse en $2I$ , porque no se puede restar un escalar a una matriz. Tratar el $2X$ como término independiente es el error que arruina el ejercicio entero.

Al ser homogéneo, no hay que estudiar la matriz ampliada: "infinitas soluciones" es simplemente $\det = 0$ . Y para cualquier otro $a$ la única solución es la trivial $(0,0,0)$ ; conviene decirlo.

El determinante $\left|\begin{smallmatrix} u & 1 & 1 \\ 1 & u & 1 \\ 1 & 1 & u\end{smallmatrix}\right| = (u-1)^{2}(u+2)$ aparece constantemente en Selectividad. Merece la pena reconocerlo de memoria en vez de desarrollarlo cada vez.