Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 6\end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Halla

A^{-1}

.

b) [1,25 puntos] Calcula la matriz

X

que satisface

A\,X = B^{t}C

(

B^{t}

es la matriz traspuesta de

B

).

c) [0,5 puntos] Halla el determinante de

A^{2013}B^{t}B\bigl(A^{-1}\bigr)^{2013}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -2; \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & 0 \\ 1 & \frac12 & 0 \\ 0 & -\frac12 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = A^{-1}B^{t}C = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & 14 \\ 1 & -6\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{c) } (\det A)^{2013}\cdot\det\bigl(B^{t}B\bigr)\cdot(\det A)^{-2013} = \det\bigl(B^{t}B\bigr)\;}

\boxed{\;\operatorname{rg}\bigl(B^{t}B\bigr)\leq\operatorname{rg}(B)\leq 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \det = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Inversa de una matriz $3\times3$ ; conviene aprovechar los ceros al calcular el determinante.
b) Ecuación lineal directa: $X = A^{-1}B^{t}C$ . Comprueba dimensiones: $B^{t}$ es $3\times2$ y $C$ es $2\times2$ , luego $B^{t}C$ es $3\times2$ y $X$ también.
c) Nada de calcular potencias. Con $\det(MN) = \det M\det N$ :

\det\bigl(A^{2013}\bigr)\cdot\det\bigl(B^{t}B\bigr)\cdot\det\bigl(A^{-1}\bigr)^{2013} = \det\bigl(B^{t}B\bigr)

porque los dos factores en

A

se cancelan. Y

B^{t}B

3\times3

pero de rango $\leq2$ .

Desarrollo

a) El determinante y la inversa. Desarrollando por la tercera columna:

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix} = 0-2 = -2 \neq 0

Con

A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t}

\operatorname{Adj}A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & 0 \\[3pt] 1 & \frac12 & 0 \\[3pt] 0 & -\frac12 & 1\end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1}

, primera fila:

\;(0+1,\; -\tfrac12+\tfrac12,\; 0) = (1,0,0)

\;\checkmark

b) El producto $B^{t}C$ .

B^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad B^{t}C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 0 & 16 \\ 1 & 2\end{pmatrix}

La matriz $X$ .

X = A^{-1}\bigl(B^{t}C\bigr) = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & 0 \\[3pt] 1 & \frac12 & 0 \\[3pt] 0 & -\frac12 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 0 & 16 \\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & 14 \\ 1 & -6\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A\,X = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 0 & 16 \\ 1 & 2\end{pmatrix} = B^{t}C

\;\checkmark

c) El determinante.

\det\Bigl(A^{2013}B^{t}B\bigl(A^{-1}\bigr)^{2013}\Bigr) = (\det A)^{2013}\cdot\det\bigl(B^{t}B\bigr)\cdot\left(\frac{1}{\det A}\right)^{2013} = \det\bigl(B^{t}B\bigr)

¿Cuánto vale?

B

2\times3

, luego

\operatorname{rg}(B)\leq2

\operatorname{rg}\bigl(B^{t}B\bigr) \leq 2 < 3

Una matriz

3\times3

de rango menor que

3

tiene determinante nulo:

\det\Bigl(A^{2013}B^{t}B\bigl(A^{-1}\bigr)^{2013}\Bigr) = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba las dimensiones antes de multiplicar: $B^{t}C$ es $3\times2$ , así que $X$ también. Si te sale una $X$ cuadrada, el planteamiento está mal.

En c) no calcules ninguna potencia: los factores $(\det A)^{2013}$ y $(\det A)^{-2013}$ se cancelan, y todo se reduce a $\det(B^{t}B)$ .

$B^{t}B$ es $3\times3$ pero su rango no puede pasar de $2$ , porque $B$ solo tiene dos filas. Ese argumento de rango da el $0$ sin hacer el producto.