Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ -2 & \phantom{-}2 & \phantom{-}4 \\ \phantom{-}1 & -1 & -2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 \\ \phantom{-}2 \\ -1\end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Calcula

B\,M

.

b) [1 punto] Razona si el sistema dado por

A\,X = B

tiene solución o no y, en caso afirmativo, cuántas soluciones tiene.

c) [0,75 puntos] Resuelve

A\,X = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad B\,M = A\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = B\,M \Rightarrow \operatorname{rg}(A) = 1; \text{ y } B \text{ respeta la proporción} \Rightarrow \operatorname{rg}(A^{*}) = 1\;}

\boxed{\;\text{Compatible indeterminado con dos parámetros}; \quad \text{c)}\; (x,y,z) = (s + 2t - 1,\; s,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) no es independiente: al multiplicar la columna

B

por la fila

M

se obtiene precisamente la matriz

A

B\,M = A

Eso lo dice todo sobre el sistema: una matriz que es producto de una columna por una fila tiene rango 1 (todas sus filas son múltiplos de

M

). Con

\operatorname{rg}(A) = 1

y tres incógnitas, si el sistema es compatible tendrá dos parámetros.

Y la compatibilidad se comprueba viendo que la columna

B

respeta la misma proporción entre filas.

Desarrollo

a) El producto $B\,M$ (

3\times 1

por

1\times 3

, resulta

3\times 3

B\,M = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ -2 & \phantom{-}2 & \phantom{-}4 \\ \phantom{-}1 & -1 & -2\end{pmatrix} = A

b) Discusión del sistema. Al ser

A = B\,M

, cada fila de

A

es un múltiplo de

M = (-1,1,2)

, con factores

1

2

-1

respectivamente. Por tanto

\operatorname{rg}(A) = 1

Rango de la ampliada. Escribiendo el sistema, las tres ecuaciones son

\begin{cases} -x + \phantom{2}y + 2z = \phantom{-}1 \\ -2x + 2y + 4z = \phantom{-}2 \\ \phantom{-}x - \phantom{2}y - 2z = -1\end{cases}

La segunda es la primera por $2$ y la tercera es la primera por $-1$ , incluyendo los términos independientes (

2\cdot 1 = 2

-1\cdot 1 = -1

). Es decir, la columna

B

también respeta la proporción:

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 1 < 3

\textbf{Compatible indeterminado con dos parámetros}

(Era previsible: como $A = B\,M$ , se tiene $A\,X = B\,(M X)$ , y $M X$ es un número. Basta con que ese número valga $1$ para que $A\,X = B$ .)

c) Resolución. Todas las ecuaciones se reducen a la primera:

-x + y + 2z = 1 \;\Longrightarrow\; x = y + 2z - 1

Tomando

y = s

z = t

como parámetros:

(x, y, z) = \bigl(s + 2t - 1,\; s,\; t\bigr), \qquad s, t \in \mathbb{R}

Comprobación:

\;-(s+2t-1) + s + 2t = 1\;\checkmark

(y las otras dos son múltiplos de esta).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado a) es la clave de los otros dos: descubrir que $A = B\,M$ explica por qué el rango es $1$ (todas las filas son múltiplos de $M$ ) sin calcular ningún menor. Los apartados de un mismo problema casi siempre están encadenados.

Con $\operatorname{rg} = 1$ y tres incógnitas, la solución depende de $3 - 1 = 2$ parámetros. Es fácil responder "un parámetro" por inercia; cuenta bien.

Para justificar la compatibilidad basta observar que la columna de términos independientes respeta la misma proporción entre filas que los coeficientes. No hace falta orlar ningún menor.