Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2022 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Dado

a \neq 0

, considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Determina para qué valores de

a

se cumple que

A^{-1} = \dfrac{1}{4}A

.

b) [1,25 puntos] Para

a = 1

calcula, si es posible, la matriz

X

tal que

A\,X = B^{t}

, donde

B^{t}

denota la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{-1} = \tfrac{1}{4}A \Longleftrightarrow A^{2} = 4I \Longleftrightarrow a = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = A^{-1}B^{t} = \tfrac{1}{4}A\,B^{t} = \begin{pmatrix} -1 & \frac{9}{4} & \frac{5}{4} \\[4pt] 0 & \frac{7}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) se puede atacar de dos formas, y conviene conocer las dos:

Directa: calcular $A^{-1}$ con la fórmula del $2\times 2$ e igualar entrada a entrada con $\frac{1}{4}A$ . Salen cuatro ecuaciones, y hay que exigir que todas se cumplan.
Elegante: multiplicar la condición por $A$ . De $A^{-1} = \frac{1}{4}A$ se sigue $I = A\,A^{-1} = \frac{1}{4}A^{2}$ , es decir, $A^{2} = 4I$ . Con eso basta calcular $A^{2}$ y comparar.

Desarrollo la segunda por ser más corta, y compruebo con la primera.

En b), ecuación matricial del tipo más simple. Ojo a las dimensiones:

B

3\times 2

, luego

B^{t}

2\times 3

X

será

2\times 3

Desarrollo

a) Transformación de la condición. Multiplicando

A^{-1} = \frac{1}{4}A

por

A

(por cualquier lado, ya que

A

conmuta consigo misma):

A\,A^{-1} = \frac{1}{4}A^{2} \;\Longrightarrow\; I = \frac{1}{4}A^{2} \;\Longrightarrow\; A^{2} = 4\,I

Cálculo de $A^{2}$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2} + 3a & -3a + 3 \\ -a^{2} + a & 3a + 1 \end{pmatrix}

Igualando a $4I$ :

\begin{cases} a^{2} + 3a = 4 \\ -3a + 3 = 0 \\ -a^{2} + a = 0 \\ 3a + 1 = 4 \end{cases}

De la segunda,

a = 1

; de la cuarta,

a = 1

; la tercera,

a(1 - a) = 0

, da

a = 0

a = 1

, y

a=0

está excluido por el enunciado; y la primera,

1 + 3 = 4\;\checkmark

a = 1

Comprobación directa. Con

|A| = -a - 3a = -4a

, la inversa de una matriz

2\times 2

A^{-1} = \frac{1}{-4a}\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -a & -a \end{pmatrix}

\frac{1}{4}A = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1\end{pmatrix}

. Comparando la entrada

(1,2)

\frac{-3}{-4a} = \frac{3}{4a} \quad \text{frente a} \quad \frac{3}{4} \;\Longrightarrow\; a = 1 \quad \checkmark

b) Caso $a = 1$ .

A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = -1 - 3 = -4 \neq 0

B^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

Despeje. La incógnita está a la derecha de

A

A\,X = B^{t} \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}B^{t}

Inversa. Por el apartado a) sabemos que

A^{-1} = \frac{1}{4}A

, lo que ahorra todo el cálculo:

A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Producto.

X = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -4 & 9 & 5 \\ 0 & 7 & 3 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -1 & \frac{9}{4} & \frac{5}{4} \\[4pt] 0 & \frac{7}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}

(La primera entrada: $\frac{1}{4}\bigl((-1)\cdot 1 + 3\cdot(-1)\bigr) = \frac{-4}{4} = -1$ .)

Comprobación.

A\,X = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & \frac{9}{4} & \frac{5}{4} \\[4pt] 0 & \frac{7}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = B^{t} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El truco de multiplicar por $A$ convierte una condición con inversas en una sin inversas: $A^{-1} = \frac{1}{4}A$ equivale a $A^{2} = 4I$ . Es mucho más rápido que calcular $A^{-1}$ con la fórmula y comparar las cuatro entradas, y además evita arrastrar el $-4a$ del denominador.

Y si haces la comparación entrada a entrada, exige que se cumplan las cuatro. Es tentador quedarse con la primera ecuación que salga bonita, pero una sola de ellas puede admitir soluciones que las otras descartan (aquí la tercera admite $a=0$ , que además ya excluía el enunciado).