Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} x+y+z & = & a-1 \\ 2x+y+a z & = & a \\ x+a y+z & = & 1\end{array}\right\}

a) [1,5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro

a

.

b) [1 punto] Resuélvelo en el caso

a = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -a^{2}+3a-2 = -(a-1)(a-2)\;}

\boxed{\;a\neq1,2: \text{ compatible determinado}\;}

\boxed{\;a = 1: \ x+y+z = 0 \text{ y } = 1 \Rightarrow \text{incompatible}; \quad a = 2: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;a = 2: \ (x,y,z) = (t,\; 0,\; 1-t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante sale de segundo grado, con dos valores críticos, y cada uno se comporta de forma distinta:

en uno, la primera y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente $\to$ incompatible,
en el otro, la columna de términos independientes coincide con una columna de $M$ $\to$ el rango no sube y el sistema es indeterminado.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} a-1 \\ a \\ 1\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\,\bigl(1-a^{2}\bigr)-1\,(2-a)+1\,(2a-1)

= 1-a^{2}-2+a+2a-1 = -a^{2}+3a-2 = -(a-1)(a-2)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 1 \quad \text{o} \quad a = 2

a) Discusión.

Caso $a\neq1$ y $a\neq2$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $a = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)

Las filas primera y tercera tienen los mismos coeficientes pero términos independientes distintos (

0

1

x+y+z = 0 \qquad \text{y} \qquad x+y+z = 1

Contradicción. Con

\operatorname{rg}M = 2

(el menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -1 \neq 0

) y

\operatorname{rg}M^{*} = 3

\textbf{Sistema incompatible}

Caso $a = 2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1\end{array}\right)

Observación clave: la columna de términos independientes es idéntica a la primera columna de

M

(ambas son

(1,2,1)

), así que no aporta rango nuevo:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $a = 2$ .

\begin{cases} x+y+z = 1 \\ 2x+y+2z = 2 \\ x+2y+z = 1\end{cases}

Restando la primera de la tercera:

y = 0

Sustituyendo en la primera:

\;x+z = 1

.

Comprobación en la segunda:

\;2x+0+2z = 2\,(x+z) = 2

\;\checkmark

Con

x = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; 0,\; 1-t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

(Coherente con la observación: como $b$ es la primera columna, $(1,0,0)$ es solución; en efecto, se obtiene con $t=1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si la columna de términos independientes coincide con una columna de $M$ , el rango de la ampliada no sube: el sistema es compatible de forma inmediata (y una solución evidente es el vector unitario correspondiente).

En los valores críticos hay que mirar la ampliada: con $a=1$ dos ecuaciones se contradicen y con $a=2$ el sistema es indeterminado. La diferencia está en el término independiente.

Busca la resta más cómoda: aquí, $F_{3}-F_{1}$ elimina $x$ y $z$ de un golpe y da $y = 0$ .