Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 3. Considera

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Determina

a

b

c

, sabiendo que

A\,B = C

y la matriz

A

tiene rango

2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a + b = 1, \qquad c = -4, \qquad |A| = 8a - 5b - 3 = 0\;}

\boxed{\;a = \frac{8}{13}, \qquad b = \frac{5}{13}, \qquad c = -4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas y dos fuentes de información:

$AB = C$ da tres ecuaciones (una por fila). La primera se cumple sola, así que en realidad aporta dos.
$\operatorname{rg}(A) = 2$ obliga a que $|A| = 0$ : la tercera ecuación.

Multiplicar por el vector de unos es especialmente cómodo: cada fila de

AB

es simplemente la suma de los elementos de esa fila de

A

.

Al final conviene comprobar que el rango es exactamente

2

y no

1

, que es lo que realmente pide el enunciado.

Desarrollo

La condición $AB = C$ . Como

B

es el vector de unos, cada componente de

AB

es la suma de la fila correspondiente:

AB = \begin{pmatrix} 1 + 1 + 1 \\ 1 + a + b \\ c + 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

Primera fila: $3 = 3$ . Se cumple automáticamente, no aporta información.
Segunda fila: $1 + a + b = 2 \;\Longrightarrow\; a + b = 1$
Tercera fila: $c + 5 = 1 \;\Longrightarrow\; c = -4$

La condición del rango. Con

c = -4

|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ -4 & 1 & 4 \end{array}\right| = 1\,(4a - b) - 1\,(4 + 4b) + 1\,(1 + 4a)

= 4a - b - 4 - 4b + 1 + 4a = 8a - 5b - 3

Como

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3

, debe ser

|A| = 0

8a - 5b - 3 = 0

Sistema para $a$ y $b$ . Sustituyendo

b = 1 - a

8a - 5\,(1 - a) - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; 8a - 5 + 5a - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; 13a = 8

a = \frac{8}{13}, \qquad b = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}, \qquad c = -4

Comprobación de que el rango es exactamente $2$ . La matriz queda

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{8}{13} & \frac{5}{13} \\ -4 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Su determinante es

0

(por construcción), y el menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & \frac{8}{13} \end{array}\right| = \frac{8}{13} - 1 = -\frac{5}{13} \neq 0

confirma que

\operatorname{rg}(A) = 2

y no

1

. Y en efecto

AB = (3, 2, 1)^{t} = C

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La primera fila de $AB = C$ no aporta nada: da $3 = 3$ para cualquier valor de los parámetros. Contar tres ecuaciones ahí y creer que sobra información es el error de lectura de este ejercicio; en realidad hacen falta las tres condiciones, incluida la del rango.

"Rango $2$ " no es lo mismo que "determinante nulo": el determinante nulo garantiza rango menor que 3. Exhibe un menor de orden $2$ no nulo para cerrar el razonamiento, aunque el resultado sea el esperado.