Opción A · Ejercicio 3. Considera la matriz A = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & -1 \\ -1 & \phantom{-}0\end{pmatrix} a) [0,5 puntos] Comprueba que A\,A^{t} - 2A = I (A^{t} denota la traspuesta de A e I la matriz identidad). b) [0,75 puntos] Calcula A^{-1}. c) [1,25 puntos] Determina, si existe, la matriz X que verifica X\,A + I = 3A.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & -1 \\ -1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}

a) [0,5 puntos] Comprueba que

A\,A^{t} - 2A = I

(

A^{t}

denota la traspuesta de

A

I

la matriz identidad).

b) [0,75 puntos] Calcula

A^{-1}

.

c) [1,25 puntos] Determina, si existe, la matriz

X

que verifica

X\,A + I = 3A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{t} = A; \qquad A^{2} - 2A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 0\end{pmatrix} = I\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A\,(A - 2I) = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad X = \bigl(3A - I\bigr)A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}\;}

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Estrategia

El apartado a) es una comprobación directa, pero con premio:

A

es simétrica, así que

A^{t} = A

y la identidad se convierte en

A^{2} - 2A = I

De ahí sale un atajo precioso para b): despejando,

A\,(A - 2I) = I

, luego

A^{-1} = A - 2I

sin calcular ningún adjunto.

En c) hay que despejar con cuidado:

A

multiplica a

X

por la derecha, así que

A^{-1}

entra también por la derecha.

Desarrollo

a) La comprobación. Como

A

es simétrica (

a_{12} = a_{21} = -1

), se tiene

A^{t} = A

A\,A^{t} = A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & \phantom{-}1\end{pmatrix}

A\,A^{t} - 2A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \phantom{-}4 & -2 \\ -2 & \phantom{-}0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I \quad \checkmark

b) La inversa. De la identidad anterior, con

A^{t} = A

A^{2} - 2A = I \;\Longrightarrow\; A\,\bigl(A - 2I\bigr) = I

Eso dice exactamente que

A - 2I

es la inversa de

A

A^{-1} = A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1 \\ -1 & -2\end{pmatrix}

(Comprobación por la vía clásica: $|A| = 0 - 1 = -1$ , y la inversa de una $2\times 2$ es $\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2\end{pmatrix}$ $\checkmark$ )

c) La ecuación matricial.

X\,A + I = 3A \;\Longrightarrow\; X\,A = 3A - I

Multiplicando por

A^{-1}

por la derecha (porque

A

está a la derecha de

X

X = \bigl(3A - I\bigr)\,A^{-1}

Cálculo.

3A - I = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}5 & -3 \\ -3 & -1\end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 3 & -5 + 6 \\ 0 + 1 & \phantom{-}3 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}

Comprobación.

X\,A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & -1\end{pmatrix} = 3A - I \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado a) no es un trámite: la identidad $A^{2} - 2A = I$ se factoriza como $A\,(A-2I) = I$ y regala la inversa sin adjuntos ni determinantes. Los apartados de un problema suelen estar encadenados; busca la conexión antes de calcular por la vía larga.

En c), $A$ multiplica a $X$ por la derecha, así que $A^{-1}$ entra por la derecha: $X = (3A-I)A^{-1}$ . Escribir $X = A^{-1}(3A-I)$ da otra matriz distinta, porque el producto de matrices no conmuta.

Y no confundas $3A - I$ con $3A - 1$ : hay que restar la identidad, que solo afecta a la diagonal.