Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sea

A

una matriz

3\times 3

tal que

\det(2A) = 8

.

a) [0,5 puntos] ¿Cuánto vale

\det(A)

?

b) [0,75 puntos] Siendo

B

la matriz que se obtiene de

A

multiplicando por

3

la primera fila y por

-1

la tercera, ¿cuánto vale

\det(B)

?

c) [1,25 puntos] Determina los valores de

x

para los que la siguiente matriz

A

verifica que

\det(2A) = 8

A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x+1 & 2 & 2 \\ x & -x+2 & 1\end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \det(2A) = 2^{3}\det(A) = 8 \;\Longrightarrow\; \det(A) = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \det(B) = 3\cdot(-1)\cdot\det(A) = -3\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad \det(A) = (x-1)^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 0 \text{ o } x = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos primeros apartados son puras propiedades, y hay que distinguirlas bien:

$\det(kA) = k^{n}\det(A)$ cuando el escalar multiplica a toda la matriz (es decir, a las $n$ filas).
Multiplicar una sola fila por $k$ multiplica el determinante por $k$ (una sola vez).

En c) se junta todo: la condición

\det(2A) = 8

equivale, por a), a

\det(A) = 1

, y entonces solo hay que calcular el determinante de la matriz dada e igualarlo a

1

Desarrollo

a) De $\det(2A)$ a $\det(A)$ . Al ser

A

de orden

3

\det(2A) = 2^{3}\det(A) = 8\det(A)

8\det(A) = 8 \;\Longrightarrow\; \det(A) = 1

b) La matriz $B$ . Se ha multiplicado una fila por

3

y otra por

-1

; cada operación multiplica el determinante por ese factor:

\det(B) = 3\cdot(-1)\cdot\det(A) = -3\cdot 1 = -3

(Ojo: no es $3^{3}\cdot(-1)^{3}$ ; el exponente $n$ solo aparece cuando el escalar afecta a todas las filas.)

c) El determinante de la matriz dada. Por a), la condición es

\det(A) = 1

.

Antes de desarrollar conviene simplificar: a la segunda fila le restamos la primera, lo que no altera el determinante:

F_{2} - F_{1} = (x+1-x,\; 2-1,\; 2-1) = (1,\, 1,\, 1)

\det(A) = \left|\begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ x & -x+2 & 1\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= x\bigl[1 - (-x+2)\bigr] - 1\bigl[1 - x\bigr] + 1\bigl[(-x+2) - x\bigr]

= x\,(x - 1) - (1 - x) + (2 - 2x) = x^{2} - x - 1 + x + 2 - 2x

\det(A) = x^{2} - 2x + 1 = (x-1)^{2}

La ecuación.

(x-1)^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x - 1 = \pm 1 \;\Longrightarrow\; x = 2 \quad \text{o} \quad x = 0

Comprobación con $x = 0$ . La matriz es

\left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right|

Desarrollando por la primera columna, el único término no nulo está en la posición

(2,1)

y lleva signo

-

= -1\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right| = -1\,(1 - 2) = 1 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Distingue las dos propiedades: $\det(kA) = k^{n}\det A$ (el escalar afecta a todas las filas) frente a "multiplicar una fila por $k$ ", que multiplica el determinante solo por $k$ . Confundirlas es el error central de este ejercicio, y el enunciado plantea las dos seguidas justamente para comprobarlo.

En c), simplifica antes de desarrollar: restar la primera fila a la segunda deja $(1,1,1)$ y no cambia el determinante. Con eso el desarrollo es mucho más corto.

La ecuación $(x-1)^{2} = 1$ tiene dos soluciones, $x=0$ y $x=2$ . Sacar la raíz cuadrada "olvidando" el signo $\pm$ pierde la mitad de la respuesta.