Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40\,500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30\,\% de las cajas.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de

30

20

40

euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de

40\,500

euros.

Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el

30\,\%

de las cajas.

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Resultado

\boxed{\;x+y+z = 1500; \quad 30x+20y+40z = 40500; \quad x = 0{,}3\cdot1500 = 450\;}

\boxed{\;y+z = 1050 \quad \text{y} \quad y+2z = 1350\;}

\boxed{\;z = 300, \quad y = 750, \quad x = 450 \ \text{cajas}\;}

\boxed{\;\text{Pagos: } 13\,500, \ 15\,000 \ \text{y } 12\,000 \ \text{euros}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

x

y

z

al número de cajas compradas en cada mercado (¡no a los precios, que son datos!).

\begin{cases} x+y+z = 1500 & \text{(total de cajas)} \\ 30x+20y+40z = 40500 & \text{(coste total)} \\ x = 0{,}30\cdot1500 & \text{(el }30\,\% \text{ en el primero)}\end{cases}

La tercera condición da

x

directamente, así que el sistema se reduce a dos ecuaciones con dos incógnitas.

Y ojo al final: se pregunta cuánto ha pagado en cada mercado, no cuántas cajas ha comprado.

Desarrollo

Las incógnitas.

x

y

z

= cajas compradas en el primer, segundo y tercer mercado.

El sistema.

\begin{cases} x+y+z = 1500 \\ 30x+20y+40z = 40500 \\ x = 450\end{cases}

(El $30\,\%$ de $1500$ es $0{,}30\cdot1500 = 450$ .)

Sustituyendo $x = 450$ .

450+y+z = 1500 \;\Longrightarrow\; y+z = 1050

30\cdot450+20y+40z = 40500 \;\Longrightarrow\; 13500+20y+40z = 40500

20y+40z = 27000 \;\Longrightarrow\; y+2z = 1350

Restando la primera de la segunda:

z = 1350-1050 = 300 \;\Longrightarrow\; y = 1050-300 = 750

\textbf{Cajas: } 450, \quad 750 \quad \text{y} \quad 300 \ \text{(primer, segundo y tercer mercado)}

Lo que se ha pagado en cada mercado.

30\cdot450 = 13\,500 \qquad 20\cdot750 = 15\,000 \qquad 40\cdot300 = 12\,000

\textbf{Pagos: } 13\,500, \quad 15\,000 \ \text{ y } \ 12\,000 \ \text{euros}

Comprobaciones.

450+750+300 = 1500 \;\checkmark

13\,500+15\,000+12\,000 = 40\,500 \;\checkmark

\frac{450}{1500} = 0{,}30 = 30\,\% \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Define bien las incógnitas: aquí son las cajas, no los precios (que son datos del enunciado). Confundirlo hace que el sistema no tenga sentido.

La condición del $30\,\%$ no es una ecuación con incógnitas: da $x = 450$ de forma directa. Aprovéchalo para reducir el sistema antes de operar.

Lee la pregunta final: piden cuánto ha pagado, así que hay que multiplicar cada cantidad de cajas por su precio. Quedarse en el número de cajas deja el ejercicio incompleto.