Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} 2x - \phantom{1}4y + 2z = 1 \\ 5x - 11y + 9z = \lambda \\ \phantom{2}x - \phantom{1}3y + 5z = 2\end{cases}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de

\lambda

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para

\lambda = 4

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 0 \text{ para todo } \lambda, \text{ y } \operatorname{rg}(A) = 2 \text{ siempre}\;}

\boxed{\;\text{Menor orlado} = 2\,(\lambda-4): \quad \lambda = 4 \Rightarrow \text{indeterminado}; \quad \lambda \neq 4 \Rightarrow \text{incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = \left(7t - \tfrac52,\; 4t - \tfrac32,\; t\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí el parámetro está solo en los términos independientes, así que la matriz de coeficientes es fija: su determinante es un número, no una expresión en

\lambda

.

Y ese número resulta ser

0

. Por tanto:

$\operatorname{rg}(A) < 3$ siempre: el sistema nunca es compatible determinado.
Toda la discusión está en el rango de la ampliada: se orla un menor de orden $2$ con la columna de términos independientes y se ve para qué $\lambda$ se anula.

Desarrollo

Matrices.

A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 5 & -11 & 9 \\ 1 & -3 & 5\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 2 & 1 \\ 5 & -11 & 9 & \lambda \\ 1 & -3 & 5 & 2\end{array}\right)

a) Determinante de $A$ . Desarrollando por la primera fila:

|A| = 2\,(-55 + 27) + 4\,(25 - 9) + 2\,(-15 + 11) = -56 + 64 - 8 = 0

Es nulo, y no depende de $\lambda$ . Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 5 & -11\end{array}\right| = -22 + 20 = -2 \neq 0

se tiene

\operatorname{rg}(A) = 2

para todo $\lambda$ .

Rango de la ampliada. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 2 & -4 & 1 \\ 5 & -11 & \lambda \\ 1 & -3 & 2\end{array}\right| = 2\,\bigl(-22 + 3\lambda\bigr) + 4\,\bigl(10 - \lambda\bigr) + 1\,\bigl(-15 + 11\bigr)

= -44 + 6\lambda + 40 - 4\lambda - 4 = 2\lambda - 8 = 2\,(\lambda - 4)

Discusión.

\lambda = 4: \quad \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

\lambda \neq 4: \quad \operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

b) Resolución con $\lambda = 4$ . Como el rango es

2

, sobra una ecuación. Nos quedamos con la primera y la tercera, que son independientes (su menor

\left|\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 1 & -3\end{array}\right| = -2 \neq 0

), y tomamos

z = t

\begin{cases} 2x - 4y = 1 - 2t \\ \phantom{2}x - 3y = 2 - 5t\end{cases}

Multiplicando la segunda por

2

y restando:

(2x - 4y) - (2x - 6y) = (1-2t) - (4 - 10t) \;\Longrightarrow\; 2y = -3 + 8t

y = 4t - \frac{3}{2}

Y de la segunda ecuación:

x = 2 - 5t + 3y = 2 - 5t + 12t - \frac92 = 7t - \frac{5}{2}

(x, y, z) = \left(7t - \frac52,\; 4t - \frac32,\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación (segunda ecuación, con

\lambda=4

5\left(7t-\tfrac52\right) - 11\left(4t-\tfrac32\right) + 9t = 35t - \tfrac{25}{2} - 44t + \tfrac{33}{2} + 9t = 4 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando el parámetro está solo en los términos independientes, no busques valores que anulen $|A|$ : ese determinante es una constante. Lo que discrimina es el rango de la ampliada, vía el menor orlado.

Como $|A| = 0$ , el sistema nunca puede ser compatible determinado. Decirlo de entrada ordena toda la discusión y evita perder tiempo buscando un caso que no existe.

Las fracciones en la solución general no son señal de error. Si te molestan, puedes reparametrizar (por ejemplo con $z = t$ y multiplicando), pero lo importante es comprobar la ecuación que has descartado: si se cumple para todo $t$ , la solución es correcta.