Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & m\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m\end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de

m

para los que

A

B

tienen el mismo rango.

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de

m

para los que

A

B

tienen el mismo determinante.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -m-4, \qquad \det B = m\,(m+4)\;}

\boxed{\;\operatorname{rg}A = 2 \ (m\neq-4), \ 1 \ (m=-4); \qquad \operatorname{rg}B = 3 \ (m\neq0,-4), \ 2 \ (m=0 \text{ o } m=-4)\;}

\boxed{\;\text{a) Mismo rango} \iff m = 0 \ \ (\text{ambos } 2)\;}

\boxed{\;\text{b) } -m-4 = m^{2}+4m \iff m^{2}+5m+4 = 0 \iff m = -1 \text{ o } m = -4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son dos preguntas muy distintas, y conviene no mezclarlas:

a) Hay que estudiar el rango de cada matriz por separado en función de $m$ (con sus determinantes y, donde se anulen, con menores de orden inferior) y después comparar caso por caso. Ojo: $A$ es $2\times2$ (rango $\leq2$ ) y $B$ es $3\times3$ (rango $\leq3$ ), así que el rango común solo puede ser $1$ o $2$ .
b) Aquí solo hay que igualar dos polinomios y resolver. Es una simple ecuación de segundo grado.

Desarrollo

Los determinantes.

\det A = (-1)m-(2)(2) = -m-4

\det B = m\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & m\end{vmatrix} = m\,(m+4)

(Se desarrolla por la tercera columna, que solo tiene el elemento $m$ abajo.)

\det A = 0 \iff m = -4 \qquad \det B = 0 \iff m = 0 \ \text{ o } \ m = -4

a) Rango de $A$ .

$m\neq-4$ : $\det A\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}A = 2$ .
$m = -4$ : $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4\end{pmatrix}$ , con $F_{2} = -2F_{1}$ y $A\neq O$ $\Rightarrow \operatorname{rg}A = 1$ .

Rango de $B$ .

$m\neq0$ y $m\neq-4$ : $\det B\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}B = 3$ .
$m = 0$ : $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$ . La tercera columna es nula, pero el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0\end{vmatrix} = 4 \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}B = 2$ .
$m = -4$ : $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \\ 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$ , con $F_{2} = -2F_{1}$ . El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4\end{vmatrix} = -4 \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}B = 2$ .

La comparación.

\begin{array}{c|c|c} m & \operatorname{rg}A & \operatorname{rg}B \\ \hline m\neq0,-4 & 2 & 3 \\ m = 0 & 2 & 2 \\ m = -4 & 1 & 2\end{array}

\textbf{Mismo rango solo si } m = 0 \quad (\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}B = 2)

b) Mismo determinante.

-m-4 = m^{2}+4m \;\Longrightarrow\; m^{2}+5m+4 = 0

m = \frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{2} = \frac{-5\pm3}{2} \;\Longrightarrow\; m = -1 \quad \text{o} \quad m = -4

Comprobación.

m = -1: \quad \det A = 1-4 = -3, \qquad \det B = (-1)(3) = -3 \quad \checkmark

m = -4: \quad \det A = 4-4 = 0, \qquad \det B = (-4)(0) = 0 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mismo rango y mismo determinante son preguntas independientes: en b) sale $m=-4$ , que en a) queda descartado porque los rangos son $1$ y $2$ . No mezcles las respuestas.

Al estudiar el rango de $B$ para $m=-4$ , no basta con ver que $F_{2} = -2F_{1}$ : hay que exhibir un menor de orden $2$ no nulo para afirmar que el rango es exactamente $2$ y no $1$ .

Aprovecha los ceros: la tercera columna de $B$ es $(0,0,m)$ , así que el determinante sale de un solo menor $2\times2$ . Buscar la fila o columna con más ceros ahorra la mitad de las cuentas.