Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Se sabe que el determinante de la matriz

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}

-3

. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) [1 punto]

\det(-2A)

\det\bigl(A^{-1}\bigr)

.

b) [1,5 puntos]

\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 7a_{11} & 7a_{12} & 7a_{13} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33}\end{vmatrix}

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21}+2a_{31} & 5a_{31} \\ a_{12} & a_{22}+2a_{32} & 5a_{32} \\ a_{13} & a_{23}+2a_{33} & 5a_{33}\end{vmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \det(-2A) = (-2)^{3}(-3) = 24; \qquad \det\bigl(A^{-1}\bigr) = -\frac13\;}

\boxed{\;\text{b}_{1}\text{) filas } F_{2},\,7F_{1},\,2F_{3}: \ = 7\cdot2\cdot(-1)\det A = -14\cdot(-3) = 42\;}

\boxed{\;\text{b}_{2}\text{) } = 5\det\bigl[F_{1};F_{2}+2F_{3};F_{3}\bigr] = 5\det A = -15\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Nada de calcular entradas: solo propiedades. Llamemos

F_{1}

F_{2}

F_{3}

a las filas de

A

$\det(kA) = k^{3}\det A$ (orden $3$ ): el factor afecta a las tres filas.
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$ .
Sacar un factor de una fila lo saca una sola vez del determinante.
Cada intercambio de filas cambia el signo.
Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante.
$\det(A^{t}) = \det A$ : útil cuando el enunciado presenta las filas de $A$ como columnas.

Desarrollo

a) Los dos primeros.

\det(-2A) = (-2)^{3}\det A = -8\cdot(-3) = 24

\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{\det A} = -\frac{1}{3}

b) Primer determinante. Sus filas son

F_{2}, \qquad 7F_{1}, \qquad 2F_{3}

Sacando los factores

7

de la segunda fila y

2

de la tercera:

= 7\cdot2\,\det\begin{pmatrix} F_{2} \\ F_{1} \\ F_{3}\end{pmatrix} = 14\det\begin{pmatrix} F_{2} \\ F_{1} \\ F_{3}\end{pmatrix}

\bigl[F_{2};F_{1};F_{3}\bigr]

se obtiene de

A

intercambiando las dos primeras filas: un intercambio, luego cambia el signo.

= 14\cdot(-1)\det A = -14\cdot(-3) = 42

b) Segundo determinante. Fíjate en que aquí las filas de

A

aparecen como columnas. Sus columnas son

F_{1}, \qquad F_{2}+2F_{3}, \qquad 5F_{3}

(en el sentido de que la $i$ -ésima entrada de cada columna es la $i$ -ésima componente de esa combinación).

Como

\det(M) = \det(M^{t})

, podemos razonar con esas mismas expresiones como filas:

\det\begin{pmatrix} F_{1} \\ F_{2}+2F_{3} \\ 5F_{3}\end{pmatrix}

Sacando el $5$ de la tercera fila:

= 5\det\begin{pmatrix} F_{1} \\ F_{2}+2F_{3} \\ F_{3}\end{pmatrix}

Y restando $2$ veces la tercera fila a la segunda (operación que no altera el determinante):

= 5\det\begin{pmatrix} F_{1} \\ F_{2} \\ F_{3}\end{pmatrix} = 5\det A = 5\cdot(-3) = -15

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\det(-2A) = (-2)^{3}\det A$ : el factor va al cubo porque afecta a las tres filas de una matriz de orden $3$ . Escribir $-2\det A$ es el error más repetido.

Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. Por eso el término $2F_{3}$ del segundo determinante desaparece sin coste; solo hay que sacar el factor $5$ .

En el segundo, las filas de $A$ aparecen como columnas. Usa $\det(M) = \det(M^{t})$ para razonar cómodamente con filas: es exactamente la misma matriz traspuesta.