Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & \lambda \\ 2 & -\lambda & 1 \\ 2\lambda & -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -1 \\ \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Discute el rango de

A

según los valores del parámetro

\lambda

.

b) [1,25 puntos] Para

\lambda = -2

, estudia y resuelve el sistema dado por

A\,X = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 2\,(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)\;}

\boxed{\;\operatorname{rg}(A) = 3 \text{ si } \lambda \neq 1,-2; \quad \operatorname{rg}(A) = 2 \text{ si } \lambda = -2; \quad \operatorname{rg}(A) = 1 \text{ si } \lambda = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Compatible indeterminado}: \; (x,y,z) = \left(\tfrac{t}{2}-\tfrac16,\; \tfrac23 - t,\; t\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El determinante se factoriza con una raíz doble y otra simple, lo que anuncia tres comportamientos distintos del rango. Y aquí no basta con decir "rango 2 en las dos raíces": hay que comprobar cada caso por separado, porque en una de ellas la matriz se degrada mucho más de lo esperado.

En b) el valor

\lambda = -2

es una de las raíces, así que

|A| = 0

y hay que aplicar Rouché comparando con la ampliada.

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 2\,\bigl(-\lambda + 1\bigr) + 1\,\bigl(2 - 2\lambda\bigr) + \lambda\,\bigl(-2 + 2\lambda^{2}\bigr)

= 2 - 2\lambda + 2 - 2\lambda - 2\lambda + 2\lambda^{3} = 2\lambda^{3} - 6\lambda + 4

= 2\,\bigl(\lambda^{3} - 3\lambda + 2\bigr) = 2\,(\lambda - 1)^{2}\,(\lambda + 2)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 1 \ \text{(doble)} \quad \text{o} \quad \lambda = -2

Caso $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -2$ :

\;\operatorname{rg}(A) = 3

.

Caso $\lambda = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}

Las tres filas son iguales: todos los menores de orden 2 se anulan y

\operatorname{rg}(A) = 1

Caso $\lambda = -2$ .

A = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & -1 & -2 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}2 & \phantom{-}1 \\ -4 & -1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}

El menor

\left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 2 & \phantom{-}2\end{array}\right| = 4 + 2 = 6 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

Resumen.

\operatorname{rg}(A) = 3 \text{ si } \lambda \neq 1,\, -2; \qquad \operatorname{rg}(A) = 2 \text{ si } \lambda = -2; \qquad \operatorname{rg}(A) = 1 \text{ si } \lambda = 1

b) Caso $\lambda = -2$ . El sistema es

\begin{cases} \phantom{-}2x - \phantom{2}y - 2z = -1 \\ \phantom{-}2x + 2y + \phantom{2}z = \phantom{-}1 \\ -4x - \phantom{2}y + \phantom{2}z = \phantom{-}0\end{cases}

Rango de la ampliada. Orlando el menor anterior con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}2 & -1 & -1 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}2 & \phantom{-}1 \\ -4 & -1 & \phantom{-}0\end{array}\right| = 2\,(0 + 1) + 1\,(0 + 4) - 1\,(-2 + 8) = 2 + 4 - 6 = 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado} \text{ (un parámetro)}

Resolución. Tomamos

z = t

y usamos las dos primeras ecuaciones:

\begin{cases} 2x - \phantom{2}y = -1 + 2t \\ 2x + 2y = \phantom{-}1 - \phantom{2}t\end{cases}

Restando la primera de la segunda:

3y = 2 - 3t \;\Longrightarrow\; y = \frac{2}{3} - t

Y de la primera:

2x = -1 + 2t + y = -1 + 2t + \frac23 - t = t - \frac13 \;\Longrightarrow\; x = \frac{t}{2} - \frac16

(x, y, z) = \left(\frac{t}{2} - \frac16,\; \frac{2}{3} - t,\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación (tercera ecuación):

\;-4\left(\tfrac{t}{2}-\tfrac16\right) - \left(\tfrac23 - t\right) + t = -2t + \tfrac23 - \tfrac23 + t + t = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No supongas que todas las raíces del determinante dan el mismo rango. Aquí $\lambda=-2$ deja rango $2$ , pero $\lambda=1$ convierte la matriz en tres filas idénticas y el rango cae a 1. Hay que sustituir y mirar en cada caso.

Que la raíz sea doble no implica por sí sola que el rango baje más; es una coincidencia de este ejercicio. Lo que decide es qué menores sobreviven, y eso solo se sabe sustituyendo.

En b), con $|A| = 0$ hay que orlar para saber si el sistema es incompatible o indeterminado. Aquí el orlado se anula y hay infinitas soluciones; comprobar la tercera ecuación al final confirma que la solución general es correcta.