Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcrcrcr} (m+2)x & - & \phantom{m}y & - & z & = & \phantom{-}1 \\ -x & - & \phantom{m}y & + & z & = & -1 \\ x & + & m y & - & z & = & \phantom{-}m\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de

m

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso

m = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = (m+2)(1-m)-(1-m) = (1-m)(m+1)\;}

\boxed{\;m\neq\pm1: \ \text{compatible determinado}\;}

\boxed{\;m = 1: \ F_{3} = -F_{2} \text{ (también en b)} \Rightarrow \text{S.C.I.}\;}

\boxed{\;m = -1: \ x-y-z = 1 \text{ y } = -1 \Rightarrow \text{incompatible}; \ \ m=1: (t,\,t,\,2t-1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante sale factorizado casi solo, con dos valores críticos, y en cada uno pasa algo distinto:

en uno, dos ecuaciones son proporcionales incluyendo el término independiente (compatible),
en el otro, dos ecuaciones tienen los mismos coeficientes pero distinto término (incompatible).

Distinguir esos dos casos es exactamente lo que se puntúa.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} m+2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & m & -1\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ m\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = (m+2)\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ m & -1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & m\end{vmatrix}

= (m+2)\,(1-m)+1\,(1-1)-1\,(-m+1)

= (m+2)(1-m)-(1-m) = (1-m)\,\bigl[(m+2)-1\bigr] = (1-m)(m+1)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = -1

a) Discusión.

Caso $m\neq1$ y $m\neq-1$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $m = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1\end{array}\right)

La tercera fila es la segunda cambiada de signo, también en el término independiente (

F_{3} = -F_{2}

). Y el menor

\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & -1\end{vmatrix} = -3-1 = -4 \neq 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Caso $m = -1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & \phantom{-}1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right)

Las filas primera y tercera tienen los mismos coeficientes pero términos independientes distintos (

1

-1

x-y-z = 1 \qquad \text{y} \qquad x-y-z = -1

Contradicción. Formalmente,

\operatorname{rg}M = 2

(el menor

\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1\end{vmatrix} = -2 \neq 0

) pero, orlándolo con la columna de términos independientes,

\begin{vmatrix} 1 & -1 & \phantom{-}1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1\end{vmatrix} = 4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M^{*} = 3

\textbf{Sistema incompatible}

b) Resolución para $m = 1$ . Descartando la tercera ecuación (redundante):

\begin{cases} 3x-y-z = \phantom{-}1 \\ -x-y+z = -1\end{cases}

Sumando las dos:

2x-2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = x

De la segunda:

\;z = -1+x+y = -1+2x

.

Con

x = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; t,\; 2t-1\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t = 1

(1,1,1)

;

\;3-1-1 = 1

\checkmark

;

\;-1-1+1 = -1

\checkmark

;

\;1+1-1 = 1

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca factor común al desarrollar: aquí $(1-m)$ aparece en dos sumandos y la factorización $(1-m)(m+1)$ sale sin resolver ninguna ecuación de segundo grado.

Los dos valores críticos no son iguales: en $m=1$ las filas son proporcionales incluso en el término independiente (compatible) y en $m=-1$ no lo son (incompatible). Hay que mirar la ampliada en cada uno.

Al resolver, busca la combinación más cómoda: aquí sumar las dos ecuaciones elimina $y$ y $z$ a la vez. Y comprueba siempre en la ecuación que descartaste.