Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & \phantom{-}2 & \phantom{-}0 \\ 1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}3\end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Halla, si existe, la inversa de

A

.

b) [1,25 puntos] Determina los valores de

m

tales que

(A - m\,I)

tiene inversa (

I

es la matriz identidad).

c) [0,5 puntos] Calcula el rango de

(A - 2I)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 4 \neq 0; \qquad A^{-1} = \frac14\begin{pmatrix} 6 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad |A - mI| = -(m-2)^{2}(m-1) \;\Longrightarrow\; \text{tiene inversa si } m \neq 1,\, 2\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A - 2I \text{ tiene una fila nula y un menor } 2\times 2 \text{ no nulo} \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg} = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres apartados encadenados alrededor del determinante:

a) $A$ tiene inversa si $|A|\neq 0$ ; se calcula por adjuntos.
b) $(A - mI)$ tiene inversa si $|A - mI| \neq 0$ . Hay que restar $m$ solo a la diagonal, calcular el determinante en función de $m$ y descartar sus raíces.
c) $m = 2$ es una de esas raíces, así que $|A-2I| = 0$ y el rango es menor que $3$ : se determina exhibiendo un menor de orden $2$ no nulo.

Desarrollo

a) Determinante e inversa. Desarrollando por la primera columna (dos ceros):

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}0\end{array}\right| = 0 + 4 = 4 \neq 0

(el único adjunto que sobrevive es el de la posición

(3,1)

, con signo

+

).

Adjuntos.

A_{11} = \left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right| = 6 \qquad A_{12} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right| = 0 \qquad A_{13} = \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right| = -2

A_{21} = -\left|\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}3\end{array}\right| = 1 \qquad A_{22} = \left|\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 1 & \phantom{-}3\end{array}\right| = 2 \qquad A_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & \phantom{-}1\end{array}\right| = -1

A_{31} = \left|\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}0\end{array}\right| = 4 \qquad A_{32} = -\left|\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 0 & \phantom{-}0\end{array}\right| = 0 \qquad A_{33} = \left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 0 & \phantom{-}2\end{array}\right| = 0

Inversa, con

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t}

(los adjuntos de cada fila pasan a ocupar una columna):

A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} \phantom{-}6 & 1 & 4 \\ \phantom{-}0 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}\tfrac32 & \phantom{-}\tfrac14 & 1 \\[2pt] \phantom{-}0 & \phantom{-}\tfrac12 & 0 \\[2pt] -\tfrac12 & -\tfrac14 & 0\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = I$ .)

b) La matriz $A - mI$ .

A - mI = \begin{pmatrix} -m & -1 & -2 \\ \phantom{-}0 & 2-m & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & 3-m\end{pmatrix}

Determinante, desarrollando por la segunda fila (dos ceros):

|A - mI| = (2-m)\cdot\left|\begin{array}{cc} -m & -2 \\ \phantom{-}1 & 3-m\end{array}\right| = (2-m)\bigl[-m\,(3-m) + 2\bigr]

= (2-m)\bigl(m^{2} - 3m + 2\bigr) = (2-m)(m-1)(m-2) = -(m-2)^{2}(m-1)

|A - mI| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = 2 \ \text{(doble)}

(A - mI) \text{ tiene inversa } \Longleftrightarrow m \neq 1 \ \text{ y } \ m \neq 2

(Comprobación con $m=0$ : $|A - 0\cdot I| = -(0-2)^{2}(0-1) = 4 = |A|\;\checkmark$ )

c) Rango de $A - 2I$ .

A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}

La segunda fila es nula, luego el rango es como mucho

2

. Y el menor formado por las filas primera y tercera,

\left|\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{array}\right| = -2 + 1 = -1 \neq 0

\operatorname{rg}(A - 2I) = 2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$A - mI$ resta $m$ solo en la diagonal principal. Restárselo a todos los elementos es el error número uno de este tipo de ejercicio y arruina el determinante desde el primer paso.

Desarrolla por la fila o columna con más ceros: aquí la segunda fila de $A-mI$ tiene dos, y el determinante sale ya factorizado como $(2-m)\cdot(\ldots)$ , sin necesidad de Ruffini.

Un buen control: sustituye $m=0$ en $|A-mI|$ y comprueba que recuperas $|A|$ . Si no coincide, hay un error de signo en algún sitio.