Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sabiendo que el determinante de la matriz

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f\end{pmatrix}

3

, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) [1 punto]

\det\bigl(A^{3}\bigr)

\;\det\bigl(A^{-1}\bigr)

\;\det\bigl(A+A^{t}\bigr)

(

A^{t}

indica la traspuesta de

A

).

b) [0,75 puntos]

\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e\end{pmatrix}

c) [0,75 puntos]

\det\begin{pmatrix} a & b & 4a-c \\ b & d & 4b-e \\ c & e & 4c-f\end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A \text{ es simétrica}: \ A^{t} = A\;}

\boxed{\;\text{a) } \det(A^{3}) = 3^{3} = 27; \quad \det(A^{-1}) = \tfrac13; \quad \det(A+A^{t}) = \det(2A) = 2^{3}\cdot3 = 24\;}

\boxed{\;\text{b) } = 2\cdot(-1)\det A = -6 \quad (\text{fila} \times 2 \ + \ \text{un intercambio})\;}

\boxed{\;\text{c) } = 4\cdot0-\det A = -3 \quad (\text{linealidad} \ + \ \text{dos columnas iguales})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un detalle clave que hay que ver de entrada:

A

es simétrica (

A^{t} = A

). Eso resuelve el tercer determinante de a) y hace que las columnas de

A

coincidan con sus filas, lo cual se usa en c).

Las propiedades necesarias:

$\det(A^{n}) = (\det A)^{n}$ y $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$ ; $\;\det(kA) = k^{3}\det A$ (orden $3$ ).
Multiplicar una fila (o columna) por $k$ multiplica el determinante por $k$ .
Intercambiar dos filas cambia el signo.
Linealidad en una columna, y determinante nulo si dos columnas son iguales o proporcionales.

Desarrollo

Observación previa.

A

es simétrica:

A^{t} = A

.

a) Los tres primeros.

\det\bigl(A^{3}\bigr) = (\det A)^{3} = 3^{3} = 27

\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{\det A} = \frac{1}{3}

A+A^{t} = A+A = 2A \;\Longrightarrow\; \det\bigl(A+A^{t}\bigr) = \det(2A) = 2^{3}\det A = 8\cdot3 = 24

b) El segundo determinante. Llamemos

F_{1} = (a,b,c)

F_{2} = (b,d,e)

F_{3} = (c,e,f)

a las filas de

A

. La matriz nueva tiene filas

F_{1}, \qquad F_{3}, \qquad 2F_{2}

Sacando el

2

de la tercera fila:

\det\begin{pmatrix} F_{1} \\ F_{3} \\ 2F_{2}\end{pmatrix} = 2\det\begin{pmatrix} F_{1} \\ F_{3} \\ F_{2}\end{pmatrix}

\bigl[F_{1};F_{3};F_{2}\bigr]

se obtiene de

A

intercambiando las filas segunda y tercera: un solo intercambio, luego cambia el signo.

= 2\cdot(-1)\det A = -2\cdot 3 = -6

c) El tercer determinante. Como

A

es simétrica, sus columnas son

C_{1} = (a,b,c)

C_{2} = (b,d,e)

C_{3} = (c,e,f)

.

La matriz nueva tiene columnas

C_{1}

C_{2}

\;4C_{1}-C_{3}

. Por linealidad en la tercera columna:

\det\bigl[C_{1},\,C_{2},\,4C_{1}-C_{3}\bigr] = 4\underbrace{\det\bigl[C_{1},C_{2},C_{1}\bigr]}_{= \,0}-\det\bigl[C_{1},C_{2},C_{3}\bigr]

(El primero es nulo: tiene dos columnas iguales.)

= -\det A = -3

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Consejo

Lo primero es notar que $A$ es simétrica. Sin eso, $\det(A+A^{t})$ obligaría a sumar dos matrices distintas; con eso, $A+A^{t} = 2A$ y sale en una línea.

$\det(2A) = 2^{3}\det A = 8\det A$ , no $2\det A$ . El factor afecta a las tres filas.

En c), la clave es que el determinante es lineal en cada columna: puedes partirlo en dos, y el sumando con dos columnas iguales se anula. El enunciado pide nombrar las propiedades, así que escríbelas: ahí está la mitad de la nota.