Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & k & 1\end{pmatrix}

.

a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro

k

no existe la inversa de la matriz

A

? Justifica la respuesta.

b) [1,5 puntos] Para

k = 0

, resuelve la ecuación matricial

\;(X+I)\cdot A = A^{t}

, donde

I

denota la matriz identidad y

A^{t}

la matriz traspuesta de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & k\end{vmatrix} = 2k-1\;}

\boxed{\;\text{a) No existe } A^{-1} \iff \det A = 0 \iff k = \tfrac12\;}

\boxed{\;\text{b) } k=0: \ X+I = A^{t}A^{-1} \;\Longrightarrow\; X = A^{t}A^{-1}-I\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -4\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Una matriz cuadrada tiene inversa $\iff$ su determinante es no nulo. Así que la inversa no existe exactamente donde $\det A = 0$ .
b) Despejar tratando $(X+I)$ como un bloque: como $A$ multiplica por la derecha, la inversa entra por la derecha:

X+I = A^{t}A^{-1} \;\Longrightarrow\; X = A^{t}A^{-1}-I

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila (solo tiene el

1

de la derecha):

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & k\end{vmatrix} = 2k-1

\det A = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = \frac{1}{2}

\textbf{No existe } A^{-1} \textbf{ si y solo si } k = \frac12

(Para cualquier otro $k$ , $\det A\neq0$ y la inversa existe.)

b) El caso $k = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det A = -1 \neq 0

La traspuesta.

A^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}

La inversa.

A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1}$ , primera fila: $\;(1,0,0)$ $\checkmark$ )

Despejando $X$ .

(X+I)\,A = A^{t} \;\Longrightarrow\; X+I = A^{t}A^{-1} \;\Longrightarrow\; X = A^{t}A^{-1}-I

El producto.

A^{t}A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -3\end{pmatrix}

Restando la identidad.

X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -4\end{pmatrix}

Comprobación.

\;(X+I)\,A = A^{t}

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"No existe la inversa" $\iff$ determinante nulo. La pregunta está formulada en negativo, así que la respuesta es el valor que anula el determinante, no los que lo dejan distinto de cero.

Trata $(X+I)$ como un bloque: se despeja igual que si fuera una sola incógnita, y solo al final se resta $I$ .

$A$ multiplica por la derecha, así que $A^{-1}$ entra por la derecha: $A^{t}A^{-1}$ , no $A^{-1}A^{t}$ . Y aprovecha los ceros de $A$ para calcular determinante e inversa rápido.