Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = A-k I

donde

k

es una constante e

I

es la matriz identidad de orden

2

.

a) [0,75 puntos] Determina los valores de

k

para los que

B

no tiene inversa.

b) [0,5 puntos] Calcula

B^{-1}

para

k = -1

.

c) [1,25 puntos] Determina las constantes

\alpha

\beta

para las que se cumple

\;A^{2}+\alpha A = \beta I

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;B = \begin{pmatrix} -3-k & 1 \\ 2 & -1-k\end{pmatrix}, \quad \det B = k^{2}+4k+1\;}

\boxed{\;\text{a) Sin inversa si } k = -2\pm\sqrt3\;}

\boxed{\;\text{b) } k=-1: \ B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}, \ B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{c) } A^{2} = \begin{pmatrix} 11 & -4 \\ -8 & 3\end{pmatrix}: \quad \alpha = 4, \ \beta = -1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $B$ no tiene inversa $\iff \det B = 0$ . Se escribe $B = A-kI$ y sale una ecuación de segundo grado en $k$ (con raíces irracionales).
b) Con $k=-1$ se sustituye y se aplica la fórmula de la inversa $2\times2$ .
c) Se calcula $A^{2}$ y se identifican entrada a entrada con $\beta I$ : los elementos fuera de la diagonal deben anularse (y ahí sale $\alpha$ ), y los de la diagonal dan $\beta$ .

Desarrollo

a) El determinante de $B$ .

B = A-kI = \begin{pmatrix} -3-k & 1 \\ 2 & -1-k\end{pmatrix}

\det B = (-3-k)(-1-k)-1\cdot2 = (3+k)(1+k)-2

= 3+3k+k+k^{2}-2 = k^{2}+4k+1

k^{2}+4k+1 = 0 \;\Longrightarrow\; k = \frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2} = \frac{-4\pm2\sqrt3}{2} = -2\pm\sqrt3

\textbf{B no tiene inversa si } k = -2+\sqrt3 \ \text{ o } \ k = -2-\sqrt3

(Aproximadamente $-0{,}27$ y $-3{,}73$ .)

b) La inversa para $k = -1$ .

B = \begin{pmatrix} -3+1 & 1 \\ 2 & -1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}

\det B = (-2)(0)-(1)(2) = -2 \neq 0

(Coherente con a): $\;(-1)^{2}+4(-1)+1 = -2$ .)

B^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 1 & 1\end{pmatrix}

Comprobación:

B\,B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & -1+1 \\ 0+0 & 1+0\end{pmatrix} = I \;\checkmark

c) La identidad $A^{2}+\alpha A = \beta I$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+2 & -3-1 \\ -6-2 & 2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -4 \\ -8 & 3\end{pmatrix}

A^{2}+\alpha A = \begin{pmatrix} 11-3\alpha & -4+\alpha \\ -8+2\alpha & 3-\alpha\end{pmatrix}

Igualando a $\beta I$ , los elementos fuera de la diagonal deben ser

0

-4+\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 4 \qquad -8+2\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 4 \;\checkmark

Y los de la diagonal dan $\beta$ :

11-3\cdot4 = -1 \qquad 3-4 = -1

\beta = -1

\alpha = 4, \qquad \beta = -1

Comprobación:

A^{2}+4A = \begin{pmatrix} 11 & -4 \\ -8 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -12 & 4 \\ 8 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = -I \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En c), empieza por los elementos fuera de la diagonal: deben anularse, y cada uno da el mismo $\alpha$ . Que coincidan es la señal de que el problema tiene solución.

$A-kI$ resta $k$ solo en la diagonal. Escribir " $A-k$ " es un error conceptual: no se puede restar un número a una matriz.

Nota que $A^{2}+4A+I = 0$ : es el polinomio característico de $A$ (teorema de Cayley-Hamilton). Por eso $\det(A-kI) = k^{2}+4k+1$ tiene los mismos coeficientes.