Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2013 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sea

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}

.

a) [1,5 puntos] Comprueba que

A^{2} = 2I

y calcula

A^{-1}

.

b) [1 punto] Calcula

A^{2013}

y su inversa.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I\;}

\boxed{\;A\cdot\frac{A}{2} = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{A}{2} = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & -\frac12\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;2013 = 2\cdot1006+1: \quad A^{2013} = \bigl(A^{2}\bigr)^{1006}A = 2^{1006}A\;}

\boxed{\;\bigl(A^{2013}\bigr)^{-1} = \frac{1}{2^{1006}}A^{-1} = \frac{A}{2^{1007}}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La relación

A^{2} = 2I

lo resuelve todo:

De ella sale la inversa sin adjuntos: si $A\cdot A = 2I$ , entonces $A\cdot\dfrac{A}{2} = I$ , luego $A^{-1} = \dfrac{A}{2}$ .
Y también las potencias: como $A^{2} = 2I$ es un múltiplo de la identidad, las potencias pares son escalares por $I$ y las impares, escalares por $A$ .

A^{2k} = 2^{k}I \qquad A^{2k+1} = 2^{k}A

Con

2013 = 2\cdot1006+1

, la potencia pedida es del segundo tipo.

Desarrollo

a) El cuadrado.

A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 1-1 \\ 1-1 & 1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I \;\checkmark

La inversa. De

A^{2} = 2I

A\cdot\frac{A}{2} = \frac{A^{2}}{2} = \frac{2I}{2} = I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{A}{2} = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\[3pt] \frac12 & -\frac12\end{pmatrix}

(Comprobación por determinante: $\det A = -1-1 = -2 \neq 0$ , así que la inversa existe.)

b) La potencia $2013$ . Como

2013 = 2\cdot 1006+1

A^{2013} = \bigl(A^{2}\bigr)^{1006}\cdot A = \bigl(2I\bigr)^{1006}A = 2^{1006}\,I\cdot A = 2^{1006}\,A

A^{2013} = 2^{1006}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{1006} & 2^{1006} \\ 2^{1006} & -2^{1006}\end{pmatrix}

Su inversa. Usando

\bigl(kM\bigr)^{-1} = \dfrac{1}{k}M^{-1}

A^{-1} = \dfrac{A}{2}

\bigl(A^{2013}\bigr)^{-1} = \frac{1}{2^{1006}}\,A^{-1} = \frac{1}{2^{1006}}\cdot\frac{A}{2} = \frac{A}{2^{1007}}

\bigl(A^{2013}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2^{1007}} & \frac{1}{2^{1007}} \\[3pt] \frac{1}{2^{1007}} & -\frac{1}{2^{1007}}\end{pmatrix}

Comprobación con un exponente pequeño.

A^{5} = (A^{2})^{2}A = 4A = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -4\end{pmatrix}

, que coincide con multiplicar

A

cinco veces

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La relación $A^{2} = 2I$ da la inversa gratis: no hace falta calcular adjuntos ni resolver sistemas. Reconocerlo es la gracia del apartado a).

Para la potencia, escribe $2013 = 2\cdot1006+1$ y agrupa: $\bigl(A^{2}\bigr)^{1006}A$ . Intentar multiplicar matrices o buscar un patrón caso por caso es perder el tiempo.

$\bigl(kM\bigr)^{-1} = \frac1k M^{-1}$ , no $k\,M^{-1}$ . Al aplicarlo con $k = 2^{1006}$ y $M^{-1} = \frac{A}{2}$ sale el exponente $2^{1007}$ del denominador.