Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de

13\,000

personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.

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Resultado

\boxed{\;\text{Alberto: } 2\,000, \qquad \text{Begoña: } 5\,000, \qquad \text{Carlos: } 6\,000 \text{ seguidores}\;}

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Estrategia

Problema de planteamiento puro. Las tres frases se traducen una a una, con dos precauciones:

"Perdiera una tercera parte" quiere decir que le quedan dos tercios, no un tercio. El coeficiente es $\frac{2}{3}$ .
"Todavía seguiría teniendo el doble" describe una igualdad exacta, no una desigualdad: el enunciado está diciendo que, tras la pérdida, la cantidad resultante es el doble de la de Alberto.

Una vez escritas, las dos últimas ecuaciones relacionan las variables por parejas y el sistema se resuelve por sustitución sin necesidad de Gauss ni Cramer.

Desarrollo

Incógnitas.

x

y

z

= seguidores de Alberto, Begoña y Carlos, respectivamente.

Primera condición.

x + y + z = 13\,000

Segunda condición. Si Carlos pierde un tercio, le quedan

\frac{2}{3}z

, y eso es el doble de

x

\frac{2}{3}z = 2x \;\Longrightarrow\; z = 3x

Tercera condición.

x + \frac{y}{5} = \frac{z}{2}

Resolución. Sustituyendo

z = 3x

en la tercera:

x + \frac{y}{5} = \frac{3x}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{5} = \frac{3x}{2} - x = \frac{x}{2} \;\Longrightarrow\; y = \frac{5x}{2}

Llevando

y

z

a la primera ecuación:

x + \frac{5x}{2} + 3x = 13\,000

Multiplicando todo por

2

2x + 5x + 6x = 26\,000 \;\Longrightarrow\; 13x = 26\,000 \;\Longrightarrow\; x = 2\,000

y = \frac{5 \cdot 2000}{2} = 5\,000, \qquad z = 3 \cdot 2000 = 6\,000

Comprobación.

2\,000 + 5\,000 + 6\,000 = 13\,000 \quad \checkmark

\frac{2}{3}\cdot 6\,000 = 4\,000 = 2 \cdot 2\,000 \quad \checkmark

2\,000 + \frac{5\,000}{5} = 2\,000 + 1\,000 = 3\,000 = \frac{6\,000}{2} \quad \checkmark

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Consejo

"Perder una tercera parte" deja dos tercios, no un tercio. Si escribes $\frac{1}{3}z = 2x$ te sale $z = 6x$ y todo lo demás se desmorona. Cuando el enunciado hable de perder o descontar una fracción, escribe siempre lo que queda.

Fíjate en que las condiciones segunda y tercera relacionan las variables de dos en dos: $z$ con $x$ y luego $y$ con $x$ . Aprovéchalo para reducirlo todo a una sola incógnita en vez de montar la matriz $3\times 3$ ; en un problema de planteamiento como este, la sustitución directa es más rápida y deja menos margen de error.