Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}

Determina, si existe, la matriz

X

que verifica

\;A\,X\,B = C^{t}

, siendo

C^{t}

la matriz traspuesta de

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 1 \neq 0, \quad \det B = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\,C^{t}\,B^{-1}\;}

\boxed{\;A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B^{-1} = B\;}

\boxed{\;A^{-1}C^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

X

está encajonada entre

A

(izquierda) y

B

(derecha), así que hay que deshacer cada lado por su lado:

X = A^{-1}\,C^{t}\,B^{-1}

Comprobación de dimensiones:

A

3\times3

C^{t}

3\times2

B

2\times2

, luego

X

debe ser

3\times2

. Verificarlo antes de operar evita productos imposibles.

Y hay que asegurar que las dos inversas existen (

\det A\neq0

\det B\neq0

); de ahí el "si existe" del enunciado.

Desarrollo

Los determinantes.

\det A = 1\,(1-4)-2\,(0-2)+0 = -3+4 = 1 \neq 0

\det B = 0-1 = -1 \neq 0

Ambas invertibles: la matriz

X

existe y es única.

Las inversas.

A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} \qquad B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = B

( $B$ intercambia columnas, así que es su propia inversa: $B^{2} = I$ .)

La traspuesta.

C^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}

Primer producto: $A^{-1}C^{t}$ (

3\times3

por

3\times2

\begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-4+0 & -3-2+8 \\ -2+2+0 & 2+1-4 \\ 1+0+0 & -1+0+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}

Multiplicando por $B^{-1}$ a la derecha (que intercambia las columnas):

X = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}

Comprobación.

\;A\,X\,B = C^{t}

\;\checkmark

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Consejo

$X$ está entre dos matrices: $A^{-1}$ entra por la izquierda y $B^{-1}$ por la derecha. Cualquier otro orden da una matriz distinta.

Comprueba las dimensiones antes de operar: $X$ tiene que ser $3\times2$ . Si te sale cuadrada, has multiplicado en el orden equivocado.

Fíjate en que $B^{2} = I$ , luego $B^{-1} = B$ : multiplicar por ella simplemente intercambia las columnas. Reconocerlo ahorra calcular una inversa.