Opción A · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix} Calcula, si existe, el valor de k para el cual \;(A-kI)^{2}\; es la matriz nula.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Sea

I

la matriz identidad de orden

3

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}

Calcula, si existe, el valor de

k

para el cual

\;(A-kI)^{2}\;

es la matriz nula.

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Resultado

\boxed{\;B = A-kI = \begin{pmatrix} -k & -1 & -2 \\ -1 & -k & -2 \\ 1 & 1 & 3-k\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;(A-kI)^{2} = A^{2}-2kA+k^{2}I = \begin{pmatrix} k^{2}-1 & 2k-2 & 4k-4 \\ 2k-2 & k^{2}-1 & 4k-4 \\ 2-2k & 2-2k & k^{2}-6k+5\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{Entrada } (1,2)\colon\ 2k-2 = 0 \;\Longrightarrow\; k = 1 \ \text{(único candidato)}\;}

\boxed{\;A-I = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \ \text{(filas proporcionales)}\;}

\boxed{\;(A-I)^{2} = 0 \;\checkmark \;\Longrightarrow\; k = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se trata de encontrar

k

tal que

B = A-kI

cumpla

B^{2} = 0

.

Como

A

I

conmutan (

AI = IA = A

), el cuadrado se desarrolla como el de un binomio:

(A-kI)^{2} = A^{2}-2kA+k^{2}I

Basta con calcular

A^{2}

una vez: cada entrada de

(A-kI)^{2}

es un polinomio en

k

, y hay que anularlas todas a la vez. Una entrada de primer grado da el único candidato, y después se comprueba en las demás.

Desarrollo

El cuadrado de $A$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & -4 \\ 2 & 2 & 5\end{pmatrix}

El cuadrado de $A-kI$ .

(A-kI)^{2} = A^{2}-2kA+k^{2}I = \begin{pmatrix} k^{2}-1 & 2k-2 & 4k-4 \\ 2k-2 & k^{2}-1 & 4k-4 \\ 2-2k & 2-2k & k^{2}-6k+5\end{pmatrix}

Todas las entradas deben anularse. La entrada

(1,2)

obliga a

2k-2 = 0 \;\Longrightarrow\; k = 1

y con

k = 1

se anulan también las demás:

\;k^{2}-1 = 0

\;4k-4 = 0

\;2-2k = 0

\;k^{2}-6k+5 = 1-6+5 = 0

. Así que existe y es único:

k = 1

.

(Pista rápida para adivinar el candidato: la traza de $A-kI$ , que es $3-3k$ , tiene que valer $0$ cuando su cuadrado es nulo. Pero la comprobación es imprescindible.)

Comprobación directa con $k = 1$ .

B = A-I = \begin{pmatrix} 0-1 & -1 & -2 \\ -1 & 0-1 & -2 \\ 1 & 1 & 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}

Observación: las tres filas son proporcionales (

F_{2} = F_{1}

F_{3} = -F_{1}

), así que

\operatorname{rg}B = 1

B^{2} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}

Primera fila:

(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-2)(1) = 1+1-2 = 0

(-1)(-1)+(-1)(-1)+(-2)(1) = 0 \qquad (-1)(-2)+(-1)(-2)+(-2)(2) = 2+2-4 = 0

Segunda fila: idéntica a la primera

\Rightarrow

también

(0,0,0)

.

Tercera fila

(1,1,2)

-1-1+2 = 0 \qquad -1-1+2 = 0 \qquad -2-2+4 = 0

B^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \;\checkmark

k = 1

(Y es el único: la entrada $(1,2)$ de $(A-kI)^{2}$ , $\;2k-2$ , solo se anula para $k = 1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Como $A$ e $I$ conmutan, $(A-kI)^{2} = A^{2}-2kA+k^{2}I$ : calculas $A^{2}$ una sola vez y cada entrada queda como un polinomio en $k$ . Una entrada de primer grado da el candidato, y luego solo hay que comprobarlo en las demás.

$A-kI$ resta $k$ solo en la diagonal. Restar $k$ a todas las entradas es un error conceptual frecuente.

Con $k=1$ las tres filas de $B$ son proporcionales (rango $1$ ): eso hace que el producto $B\cdot B$ se anule fila a fila casi sin cuentas.