Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} mx + \phantom{3m}2y - \phantom{2}z = 1 \\ 5x - \phantom{3m}4y + 2z = 0 \\ \phantom{m}x + 3my \phantom{{}+{}2z} = m + \tfrac{2}{5} \end{cases}

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de

m

.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para

m = 0

. ¿Hay alguna solución en la que

x = 0

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;|A| = -3m\,(2m+5)\;}

\boxed{\;m \neq 0, -\tfrac{5}{2}: \text{ S.C.D.}; \qquad m = -\tfrac{5}{2}: \text{ incompatible}; \qquad m = 0: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \left(\tfrac{2}{5},\; t,\; 2t-1\right); \quad \textbf{no} \text{ hay solución con } x = 0, \text{ porque } x = \tfrac{2}{5} \text{ siempre}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché–Frobenius. El parámetro aparece en la matriz de coeficientes y en el término independiente de la tercera ecuación, así que en los casos singulares hay que sustituirlo en toda la ampliada.

El apartado b) tiene una pregunta añadida muy característica: una vez resuelto el sistema (que resulta ser indeterminado), hay que mirar la solución general y comprobar si alguna de sus infinitas soluciones cumple

x = 0

. Aquí la respuesta es que no, y el motivo es que

x

sale constante: no depende del parámetro.

Desarrollo

a) Determinante.

|A| = \left|\begin{array}{ccc} m & 2 & -1 \\ 5 & -4 & 2 \\ 1 & 3m & 0 \end{array}\right|

Desarrollando por la tercera fila (que tiene un cero):

= 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -4 & 2\end{array}\right| - 3m\cdot\left|\begin{array}{cc} m & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right| + 0

= (4 - 4) - 3m\,(2m + 5) = -3m\,(2m + 5)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = -\frac{5}{2}

Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq -\frac{5}{2}$ .

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3

: sistema compatible determinado.

Caso 2: $m = -\frac{5}{2}$ . El sistema queda

\begin{cases} -\tfrac{5}{2}x + 2y - \phantom{2}z = 1 \\ \phantom{-\tfrac{5}{2}}5x - 4y + 2z = 0 \\ \phantom{-\tfrac{5}{2}}\phantom{5}x - \tfrac{15}{2}y \phantom{{}+{}2z} = -\tfrac{21}{10} \end{cases}

(El término independiente: $-\frac{5}{2} + \frac{2}{5} = -\frac{25}{10} + \frac{4}{10} = -\frac{21}{10}$ .)

La segunda ecuación es exactamente

-2

veces la primera en los coeficientes:

-2\cdot\left(-\tfrac{5}{2},\, 2,\, -1\right) = (5,\, -4,\, 2) \quad \checkmark

pero los términos independientes no guardan esa proporción:

-2\cdot 1 = -2 \neq 0

. Sistema incompatible.

(Formalmente: el menor formado por las filas primera y tercera, $\left|\begin{array}{cc} -\frac{5}{2} & 2 \\ 1 & -\frac{15}{2}\end{array}\right| = \frac{75}{4} - 2 = \frac{67}{4} \neq 0$ , da $\operatorname{rg}(A) = 2$ , mientras que $\operatorname{rg}(A^{*}) = 3$ .)

Caso 3: $m = 0$ . El sistema queda

\begin{cases} \phantom{5}2y - \phantom{2}z = 1 \\ 5x - 4y + 2z = 0 \\ \phantom{5}\phantom{2}x \phantom{{}-{}4y+2z} = \tfrac{2}{5} \end{cases}

De la tercera,

x = \frac{2}{5}

. Sustituyendo en la segunda:

5\cdot\frac{2}{5} - 4y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; 2 - 4y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; z = 2y - 1

Y la primera se cumple automáticamente:

2y - (2y-1) = 1\;\checkmark

. Es decir, la primera ecuación no aporta información nueva.

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \text{compatible indeterminado (un parámetro)}

b) Solución para $m = 0$ .

x = \frac{2}{5}, \qquad y = t, \qquad z = 2t - 1, \qquad t \in \mathbb{R}

¿Hay alguna solución con $x = 0$ ? No. En todas las soluciones se cumple

x = \frac{2}{5}

, porque la tercera ecuación con

m=0

se reduce a

x = \frac{2}{5}

, sin ningún parámetro libre. Como

\frac{2}{5} \neq 0

, ninguna solución tiene

x = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El término independiente de la tercera ecuación también lleva $m$ . Al estudiar $m = -\frac{5}{2}$ hay que sustituirlo ahí igualmente, y da $-\frac{21}{10}$ ; si te lo dejas escrito como $m + \frac{2}{5}$ sin evaluar, la discusión de la ampliada no se puede cerrar.

La pregunta final de b) no se contesta con un cálculo, sino mirando la solución general. Como $x$ vale $\frac{2}{5}$ en todas las soluciones, basta decirlo y señalar que $\frac{2}{5} \neq 0$ . Ponerse a resolver un sistema con $x=0$ añadido lleva a una contradicción, que también sirve, pero es el camino largo.