Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}

a) [1 punto] ¿Hay algún valor de

\lambda

para el que

A

no tiene inversa?

b) [1,5 puntos] Para

\lambda = 1

, resuelve la ecuación matricial

\;A^{-1}XA = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = \lambda^{2}+1 > 0 \ \ \forall\lambda\in\mathbb{R}\;}

\boxed{\;\text{a) Ningún } \lambda \text{ anula } \det A: \ A \text{ siempre es invertible}\;}

\boxed{\;\text{b) } A^{-1}XA = B \;\Longrightarrow\; X = A\,B\,A^{-1}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 & \tfrac12 \\ 1 & \tfrac12 & -\tfrac12 \\ -1 & \tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $A$ no tiene inversa $\iff \det A = 0$ . Al desarrollar sale un polinomio sin raíces reales, así que la respuesta es "no hay ningún valor".
b) Para despejar $X$ hay que multiplicar por la izquierda y por la derecha, respetando el orden (el producto de matrices no es conmutativo):

A^{-1}XA = B \;\Longrightarrow\; A\,(A^{-1}XA)\,A^{-1} = A\,B\,A^{-1} \;\Longrightarrow\; X = A\,B\,A^{-1}

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila (o la primera columna: solo tiene el

1

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & \lambda\end{vmatrix} = \lambda^{2}-(-1) = \lambda^{2}+1

\lambda^{2}+1 > 0 \quad \text{para todo } \lambda\in\mathbb{R}

\textbf{No existe ningún } \lambda \textbf{ para el que } A \textbf{ carezca de inversa}

(La ecuación $\lambda^{2}+1 = 0$ no tiene solución real.)

b) Con $\lambda = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det A = 1^{2}+1 = 2

La inversa. El bloque

2\times2

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}

, cuya inversa es

\dfrac12\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 \\ 0 & \tfrac12 & \tfrac12\end{pmatrix}

Comprobación:

\;A\,A^{-1} = I

(el bloque da

\frac12\begin{pmatrix} 1+1 & -1+1 \\ -1+1 & 1+1\end{pmatrix} = I_{2}

)

\;\checkmark

Primero $AB$ .

B

es una matriz de permutación: multiplicar

A

por

B

por la derecha reordena las columnas de

A

(la 1.ª columna de

AB

es la 2.ª de

A

, la 2.ª es la 3.ª y la 3.ª es la 1.ª). Fila por columna:

AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}

Y ahora $X = (AB)\,A^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 \\ 0 & \tfrac12 & \tfrac12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 & \tfrac12 \\ 1 & \tfrac12 & -\tfrac12 \\ -1 & \tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}

Comprobación. Se verifica que

A^{-1}XA = B

A^{-1}X = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 & \tfrac12 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \bigl(A^{-1}X\bigr)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = B \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) basta con razonar sobre el signo: $\lambda^{2}+1$ nunca se anula en $\mathbb{R}$ . No hace falta resolver nada; lo que puntúa es justificar que no hay solución real.

En b), el orden manda: de $A^{-1}XA = B$ se despeja multiplicando por $A$ por la izquierda y por $A^{-1}$ por la derecha, y queda $X = ABA^{-1}$ , no $A^{-1}BA$ .

Con matrices diagonales por bloques como esta, invierte el bloque $2\times2$ con la fórmula $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ y deja el $1$ donde está.