Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera el sistema de ecuaciones

\begin{cases} \phantom{-}x + \phantom{2}y + 2z = 0 \\ 3x - \phantom{2}y - 2z = 0 \\ -x + 2y + mz = 0 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula

m

para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.

b) [1 punto] Para

m = 2

, ¿existe alguna solución tal que

z = 1

? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;|A| = -4\,(m - 4)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad m = 4; \quad \text{soluciones } (x,y,z) = t\,(0, -2, 1), \; t \in \mathbb{R}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad m = 2 \Longrightarrow |A| = 8 \neq 0 \Longrightarrow \text{solo la solución trivial}; \; \textbf{no} \text{ hay solución con } z = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema es homogéneo, y eso simplifica mucho la discusión: nunca es incompatible, porque la solución trivial

(0,0,0)

siempre está ahí. La única pregunta es si hay más soluciones, y la respuesta la da el determinante:

$|A| \neq 0$ : solo la trivial.
$|A| = 0$ : infinitas soluciones.

Así que "tener infinitas soluciones" equivale exactamente a

|A| = 0

, y eso despeja

m

en el apartado a).

En b), con

m = 2

el determinante no se anula, de modo que la única solución es la trivial, en la que

z = 0 \neq 1

. La respuesta es no, y hay que razonarla.

Desarrollo

a) Determinante.

|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & m \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\bigl(-m + 4\bigr) - 1\bigl(3m - 2\bigr) + 2\bigl(6 - 1\bigr)

= -m + 4 - 3m + 2 + 10 = -4m + 16 = -4\,(m - 4)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 4

Infinitas soluciones para $m = 4$ . El sistema queda

\begin{cases} \phantom{-}x + \phantom{2}y + 2z = 0 \\ 3x - \phantom{2}y - 2z = 0 \\ -x + 2y + 4z = 0 \end{cases}

El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & -1\end{array}\right| = -4 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

, así que hay un parámetro libre.

Resolución. Sumando las dos primeras ecuaciones se van

y

z

a la vez:

4x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0

Y sustituyendo en la primera:

\;y + 2z = 0 \Longrightarrow y = -2z

.

(La tercera ecuación se cumple sola: $-0 + 2(-2z) + 4z = 0\;\checkmark$ , coherente con que el rango sea $2$ .)

\text{Soluciones: } \quad (x, y, z) = (0,\, -2t,\, t) = t\,(0, -2, 1), \qquad t \in \mathbb{R}

Geométricamente, una recta que pasa por el origen.

b) Caso $m = 2$ .

|A| = -4\,(2 - 4) = 8 \neq 0

Al ser el determinante no nulo, el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial:

x = y = z = 0

Por tanto no existe ninguna solución con $z = 1$ : en la única solución que hay,

z

vale

0

.

(Si se quisiera comprobar por la vía directa: imponiendo $z=1$ el sistema $x+y=-2$ , $3x-y=2$ , $-x+2y=-2$ lleva de las dos primeras a $x=0$ , $y=-2$ , y la tercera daría $-0-4 = -4 \neq -2$ . Contradicción.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un sistema homogéneo, "tener infinitas soluciones" y "que el determinante se anule" son la misma cosa. No hace falta comparar rangos con la ampliada: la columna de ceros no aporta rango nunca, así que nunca es incompatible.

En b), la respuesta correcta es un razonamiento, no un cálculo: si $|A| \neq 0$ la única solución es la trivial, y ahí $z = 0$ . Ponerse a resolver el sistema con $z=1$ también lleva a la contradicción, pero es el camino largo para algo que se ve en una línea.